1. 函数 \( y = \cos^3(x) \) 的导数是 \( -3\sin(x)(\cos(x))^2 \)。
2. 解题过程：首先，我们应用乘积法则，将 \( y = (\cos(x))^3 \) 分解为 \( y = (\cos(x))^2(\cos(x)) \)。
3. 然后，我们分别对 \( (\cos(x))^2 \) 和 \( \cos(x) \) 求导。
4. 对于 \( (\cos(x))^2 \)，应用链式法则，得到 \( 2\cos(x)\sin(x) \)。
5. 对于 \( \cos(x) \)，其导数是 \( -\sin(x) \)。
6. 将两个导数相乘，并乘以原函数的导数 \( -3 \)，得到 \( -3\sin(x)(\cos(x))^2 \)。
7. 扩展资料：导数描述了函数在某一点的局部变化率。对于实数自变量的函数，导数就是曲线在该点上的切线斜率。导数的本质是通过极限对函数进行局部线性逼近。例如，在运动学中，物体的位移对时间的导数是物体的瞬时速度。
8. 不是所有函数都有导数，一个函数也不一定在所有点上有导数。如果函数在某一点导数存在，则称该函数在该点可导；否则称为不可导。可导函数一定连续，但连续函数不一定可导。
9. 可导函数 \( f(x) \) 的导数或导函数记作 \( x \mapsto f'(x) \)，也是另一个函数。求导是寻找已知函数在某点导数或导函数的过程。
