求下列函数在点z0=0的泰勒级数展开式，并且求其收敛半径

在求解函数在点z₀=0处的泰勒级数展开式时，我们首先可以利用欧拉公式将正弦函数转化为指数形式，从而简化问题。具体来说，我们可以将正弦函数sin(z)表示为sin(z) = (e^iz - e^-iz) / 2i，进而将sin(z)转换为关于e^2z的线性表达式。

通过代入整理，我们能够得到关于e^2z的线性表达式。进一步地，我们写出标准指数函数e^z的泰勒级数展开式，即e^z = 1 + z + z²/2! + z³/3! + ...。为了将上述展开式应用于sin(z)的表达式中，我们只需将z替换为2z，即得到e^2z = 1 + 2z + (2z)²/2! + (2z)³/3! + ...，然后代入整理即可。

在完成上述步骤后，我们还需要确定该级数的收敛半径。对于e^z的泰勒级数展开式，其收敛半径为无穷大，因此我们可以通过分析e^2z的展开式来确定其收敛半径。由于e^2z的展开式与e^z的形式相同，只是将z替换为2z，因此其收敛半径也保持不变，仍为无穷大。

综上所述，利用欧拉公式和泰勒级数展开的方法，我们可以求解函数在z₀=0处的泰勒级数展开式，并确定其收敛半径。通过将z替换为2z，我们可以将标准指数函数的展开式应用于正弦函数的表达式中，并进一步求得其泰勒级数展开式及其收敛半径。