
逆矩阵是方阵,矩阵A的逆矩阵是唯一的,A的逆矩阵的逆矩阵还是A。逆矩阵的转置矩阵可逆,并且逆矩阵的转置等于原矩阵的逆矩阵的转置。可逆矩阵A满足消去律,两个可逆矩阵乘积依然是可逆的。如果矩阵A和B互逆,则AB=BA=I。这两个矩阵的行列式都不为0,矩阵A和B都是方阵,且秩等于它们的级数。
逆矩阵是对方阵定义的,因此逆矩阵一定是方阵。如果B与C都为A的逆矩阵,则有B=C。假设B和C均是A的逆矩阵,B=BI=B(AC)=(BA)C=IC=C,因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。由逆矩阵的唯一性,A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。
矩阵A可逆,有AA-1=I。(A-1)TAT=(AA-1)T=IT=I,AT(A-1)T=(A-1A)T=IT=I。由可逆矩阵的定义可知,AT可逆,其逆矩阵为(A-1)T。而(AT)-1也是AT的逆矩阵,由逆矩阵的唯一性,因此(AT)-1=(A-1)T。
逆矩阵的唯一性证明了矩阵A的逆矩阵是唯一的,即某矩阵的任意两个逆矩阵相等。逆矩阵的唯一性还证明了A-1的逆矩阵可写作(A-1)-1和A,因此相等。
逆矩阵的性质对于线性代数中的许多问题至关重要,如解线性方程组,求解矩阵的特征值和特征向量等。逆矩阵的存在与否,直接影响到线性代数中很多概念的定义和性质。逆矩阵的性质不仅在数学理论中占有重要地位,还在实际应用中发挥着重要作用。