为了证明当x趋近于0时，arctan x与x等价，我们采用极限的方法。设arctan x = u，由此得到x = tan u。根据x和u的转换关系，当x趋向于0时，u也趋向于0。
接下来，我们考虑求解以下极限表达式：lim (arctan x / x)。
通过转换，我们可以将其表示为lim (u / tan u)。进一步地，利用三角函数的性质，我们知道tan u可以表示为sin u / cos u，因此原式可以变换为lim (u / (sin u / cos u))，即lim (u * cos u / sin u)。
进一步简化，我们可以将其写为lim (u / sin u * cos u)。我们知道当u趋向于0时，u / sin u的极限值为1，cos u的极限值为1。
因此，整个表达式的极限值为1。这证明了当x趋近于0时，arctan x与x是等价无穷小，即arctan x ~ x。
此结论在数学分析中非常有用，特别是在处理极限和微分等问题时，可以简化计算过程。通过上述步骤，我们得出了arctan x与x等价的结论，这为后续的数学推导提供了基础。
