考虑函数g(x)=f(x)-x，我们希望证明g(x)在闭区间[a,b]上存在零点。由于f(x)的值域为[a,b]，我们可以得知a≤f(x)≤b。因此，当x=a时，g(a)=f(a)-a≥0；当x=b时，g(b)=f(b)-b≤0。根据连续函数的零点定理，我们可以得出结论，即存在一个d属于(a,b)，使得g(x0)=f(x0)-x0=0，这意味着f(x0)=x0。
进一步来说，这个定理说明了，在闭区间[a,b]内，如果函数f(x)的值域完全包含于[a,b]，那么通过定义g(x)=f(x)-x，我们就能确保g(x)在(a,b)区间内存在至少一个零点。这个结论不仅证明了f(x)与x的交点的存在性，还提供了构造性证明的方法，即通过连续函数的零点定理，能够直接找到满足条件的x0值。
为了更好地理解这一性质，我们可以考虑一个具体的例子。假设f(x)是一个在[1,5]区间内连续的函数，且其值域也是[1,5]。这意味着对于任意的x属于[1,5]，都有1≤f(x)≤5。如果我们定义g(x)=f(x)-x，那么g(1)=f(1)-1≥0，g(5)=f(5)-5≤0。根据连续函数的零点定理，我们能够确定，在(1,5)区间内，必存在一个x0，使得g(x0)=0，也就是f(x0)=x0。
这一性质的应用非常广泛，尤其是在解决实际问题时。例如，在经济学领域，我们可以利用这一性质来寻找最优解。假设一个企业的成本函数C(x)在生产量x属于[100,200]区间内是连续的，且其值域也是[100,200]。如果我们定义g(x)=C(x)-x，那么根据上述定理，我们能够确定在(100,200)区间内存在一个生产量x0，使得C(x0)=x0。这个x0值就是企业实现最小成本的生产量。
此外，这一性质在数学分析中也有重要应用。通过这一性质，我们可以证明许多关于函数的基本定理。例如，它可以用来证明介值定理，即在一个闭区间内的连续函数，如果函数值在该区间的端点值之间，则该函数在该区间内取遍该区间内的所有值。
