在几何学中，我们了解到一个基本的定理：一个点到圆上的点的距离等于该圆的半径。基于这一原理，我们可以进行一系列的推导和计算。
首先，给定了一个等式 AC² = AD² + CD²，以及一个已知条件 AC = 5。从这个等式中，我们可以推断出AD和CD之间的关系。实际上，这个等式是勾股定理的一个特例，即在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。在这个场景中，AC是斜边，AD和CD是直角边。
接下来，我们根据点A为圆心，4cm为半径做圆A。这意味着如果某个点到点A的距离小于4cm，则该点位于圆内；如果距离等于4cm，则该点位于圆上；如果距离大于4cm，则该点在圆外。这个性质为我们提供了判断点位置的重要依据。
进一步地，我们考虑圆A的半径r的取值范围。由于AC > 4cm（即半径在圆外），而AB < 4cm（即半径在圆内），我们可以推断出圆A的半径r必须大于3cm且小于5cm。这是因为如果r等于3cm或5cm，那么就会与已知条件AC = 5产生矛盾。因此，唯一符合所有条件的半径取值范围是 3 < r < 5。
综上所述，我们通过分析几何原理、利用已知条件和逻辑推理，得出了圆A的半径r的具体取值范围。这一推导过程不仅展示了数学定理的实际应用，也体现了逻辑推理在解决问题中的重要性。
