高等数学试题及答案

设F(x,y,z)＝e^z+z+xy-4，求偏导数：∂F/∂x＝y，∂F/∂y＝x，∂F/∂z＝e^z+1。将x＝3，y＝1，z＝0代入，得∂F/∂x＝1，∂F/∂y＝3，∂F/∂z＝2。由此可得切平面方程为x-3+3(y-1)+2z＝0，即简化为x+3y+2z-6＝0。法线方程为(x-3)＝(y-1)/3＝z/2。

在高等数学中，函数的偏导数是非常重要的概念，它们帮助我们了解函数在不同维度上的变化率。在具体问题中，我们可以通过偏导数来研究函数在某一点的行为。比如在本题中，给定的函数F(x,y,z)＝e^z+z+xy-4，我们需要分别对x，y，z求偏导数，以便更好地理解函数的性质。

首先，我们求偏导数∂F/∂x。根据函数的定义，我们可以看到，当x变化时，z和y保持不变，因此∂F/∂x只与xy的项有关，得到∂F/∂x＝y。同样的方法，我们对y求偏导数∂F/∂y，得到∂F/∂y＝x。最后，对z求偏导数∂F/∂z，得到∂F/∂z＝e^z+1。

然后，我们代入x＝3，y＝1，z＝0。将这些值分别代入偏导数表达式中，得到∂F/∂x＝1，∂F/∂y＝3，∂F/∂z＝2。这一步骤使我们能够具体了解在给定点处函数的变化率。

接下来，我们使用偏导数来构建切平面方程。切平面方程的公式是F(x,y,z)＝F(x0,y0,z0) + ∂F/∂x(x-x0) + ∂F/∂y(y-y0) + ∂F/∂z(z-z0)。将已知值代入，得到切平面方程为x-3+3(y-1)+2z＝0，进一步简化为x+3y+2z-6＝0。

最后，我们通过偏导数构造法线方程。法线方程的一般形式是(x-x0)/∂F/∂x＝(y-y0)/∂F/∂y＝(z-z0)/∂F/∂z。将已知值代入，得到法线方程为(x-3)＝(y-1)/3＝z/2。

通过上述步骤，我们可以更加深入地理解函数F(x,y,z)在特定点的性质，包括其变化率和几何特性。这样的分析方法在解决实际问题时非常有用，尤其是在需要了解函数在某个区域内的行为时。