通过分析极限关系，我们可以证明ln(1+x)和x是等价无穷小。首先，考虑极限表达式：
lim(x→0)ln(1+x)/x=lim(x→0)ln(1+x)^(1/x)=ln[lim(x→0)(1+x)^(1/x)]
接下来，我们应用两个重要极限：
lim(x→0)(1+x)^(1/x)=e
因此，原式可以简化为：
ln[lim(x→0)(1+x)^(1/x)]=ln(e)=1
由此得出：
lim(x→0)ln(1+x)/x=1，即ln(1+x)和x是等价无穷小
进一步地，我们可以通过类似的方法来证明e^x-1和x也是等价无穷小。考虑极限表达式：
lim(x→0)(e^x-1)/x
我们知道e^x的泰勒展开式为：
e^x=1+x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+...
因此，e^x-1可以表示为：
e^x-1=x+(x^2)/2!+(x^3)/3!+...
当x趋近于0时，高阶项可以忽略不计，所以：
lim(x→0)(e^x-1)/x=lim(x→0)x/x=1
同样，这表明e^x-1和x是等价无穷小。
综上所述，通过上述证明过程，我们得到了两个等价无穷小公式：(e^x-1)~x和ln(1+x)~x。
这种等价无穷小的性质在处理极限问题时非常有用，能够简化复杂的极限计算。
此外，等价无穷小的性质还可以应用于泰勒展开式的简化，以及在微积分中的各种应用。
总之，理解和掌握等价无穷小的概念及其应用，对于深入学习高等数学具有重要意义。
