在积分区域连续的情况下，二重积分可以进行顺序交换。具体而言，如果函数在积分区域上连续，则交换积分顺序不会影响积分值。这是由Fubini定理给出的。
为了更具体地理解这一点，考虑二重积分
\[
\iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy
\]
其中\(D\)是积分区域。当函数\(f(x,y)\)在\(D\)上连续时，根据Fubini定理，我们有
\[
\iint_{D} f(x,y) \, dx \, dy = \int_{a}^{b} \left( \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx = \int_{c}^{d} \left( \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right) dy
\]
这说明我们可以任意交换积分顺序，且积分值不变。这里\(D\)的边界由\(x\)和\(y\)的范围定义，即\(a \leq x \leq b, g_1(x) \leq y \leq g_2(x)\)或\(c \leq y \leq d, h_1(y) \leq x \leq h_2(y)\)。
需要注意的是，Fubini定理的应用不仅要求函数在积分区域上连续，还要求积分存在。也就是说，如果函数\(f(x,y)\)在\(D\)上是连续的，则二重积分的值与积分顺序无关。
举一个简单的例子，考虑积分区域为单位正方形，即\(0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1\)，函数\(f(x,y) = x^2 + y^2\)。
计算
\[
\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx = \int_{0}^{1} \left( x^2y + \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{1} \, dx = \int_{0}^{1} \left( x^2 + \frac{1}{3} \right) dx = \left( \frac{x^3}{3} + \frac{x}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{4}{9}
\]
同样的，我们也可以交换积分顺序
\[
\int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} (x^2 + y^2) \, dx \right) dy = \int_{0}^{1} \left( x^3 + xy^2 \right|_{0}^{1} \, dy = \int_{0}^{1} \left( 1 + y^2 \right) dy = \left( y + \frac{y^3}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{4}{9}
\]
这再次证实了二重积分在积分区域连续时，顺序交换积分顺序不会改变积分值。
总结来说，二重积分在函数连续的条件下，积分顺序可以任意交换，且积分值不变，这是Fubini定理的一个直接应用。
