用数列极限的定义来证明问题，是一种严谨的数学方法。这种证明方式的关键在于，对于任意给定的正数ε，我们能够找到一个正整数N，使得当n大于N时，数列中的项与极限值之间的差的绝对值小于ε。具体步骤如下：
首先，明确数列的定义和目标极限值。假设我们要证明数列an的极限是L，即lim(n→∞)an = L。根据定义，对于任意给定的ε > 0，我们需要找到一个正整数N，使得对于所有的n > N，都有|an - L| < ε。
接着，依据数列的特性，找到N的具体形式。这通常需要对数列进行仔细分析，有时可能需要用到不等式技巧。找到N后，验证对于所有的n > N，|an - L|确实小于ε。
以两个具体的例子来说明。假设我们有两个数列：an = 1/n和bn = 1 - 1/n²。我们分别用数列极限的定义来证明lim(n→∞)an = 0和lim(n→∞)bn = 1。
对于an = 1/n，要证明lim(n→∞)an = 0，即对于任意给定的ε > 0，找到一个N，使得n > N时，|1/n - 0| < ε。解不等式1/nε，得到N > 1/ε。因此，取N = [1/ε] + 1即可。
对于bn = 1 - 1/n²，要证明lim(n→∞)bn = 1，即对于任意给定的ε > 0，找到一个N，使得n > N时，|1 - 1/n² - 1| < ε。简化后得到|1/n²| < ε，解不等式1/n²ε，得到N > 1/√ε。因此，取N = [1/√ε] + 1即可。
通过这种方法，我们不仅证明了数列的极限存在，还精确地确定了数列收敛的条件。这种证明方式对于理解数列的性质和极限的概念至关重要。
