整式8-x与7+3x互质，这意味着它们没有除了1以外的公因式。若整式f(x)与g(x)互素，则存在有理数a与b，使af(x)+bg(x)=1成立。对于8-x和7+3x，可以设a(8-x)+b(7+3x)=1。
展开后得到(8a+7b)+(-a+3b)x=1。由此可以得出两个方程：8a+7b=1，-a+3b=0。通过求解这两个方程，可以得到a和b的值。将第二个方程转化为a=3b，代入第一个方程中，解得b=1/31，进而得到a=3/31。
因此，a(8-x)+b(7+3x)=1中的a和b分别为3/31和1/31，说明8-x和7+3x互质。
互质的概念在数论中非常重要，它不仅用于简化分数，还广泛应用于密码学、编码理论等领域。在证明两个整式互质时，通常采用这种方法，即找到一组有理数a与b，使得它们的线性组合等于1。通过解方程组，可以验证两个多项式的互质性。
在代数中，互质的性质经常被用来简化复杂的多项式表达式，或者证明某些多项式的性质。通过寻找合适的a和b值，可以确保多项式的互质性，这在多项式除法、分解因式等操作中都至关重要。
总之，证明8-x与7+3x互质的过程展示了代数中如何通过线性组合验证两个多项式的互质性。这种方法不仅适用于整式，也适用于其他类型的多项式，是数学研究中一个基本且重要的概念。
