设\(a_n = v_n - u_n\)，\(b_n = c_n - u_n\)，则有\(a_n > b_n > 0\)。又因为级数\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)与\(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\)都收敛，所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)也收敛。根据正项级数的比较收敛法，级数\(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)也收敛。因为\(c_n = b_n + u_n\)，而\(\sum_{n=1}^{\infty} b_n\)与\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)都收敛，所以级数\(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)也收敛。
此题若直接使用比较法是不正确的，因为已知的级数不一定都是正项级数。因此，我们需要通过给定的级数构造出两个正项级数，再利用这两个级数来证明\(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)的收敛性。在构造过程中，我们引入了\(a_n\)和\(b_n\)，利用它们的正项特性，结合已知收敛的级数\(\sum_{n=1}^{\infty} u_n\)与\(\sum_{n=1}^{\infty} v_n\)，成功地证明了\(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)的收敛性。
具体来说，我们首先确定了\(a_n = v_n - u_n > 0\)和\(b_n = c_n - u_n > 0\)，并且\(\sum_{n=1}^{\infty} a_n\)收敛。这意味着\(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)可以视为\(\sum_{n=1}^{\infty} b_n + \sum_{n=1}^{\infty} u_n\)，而这两个级数都是收敛的。因此，根据级数的性质，\(\sum_{n=1}^{\infty} c_n\)也必然收敛。
通过上述分析，我们展示了如何通过构造正项级数来证明原级数的收敛性，从而解决了这个问题。这种方法不仅适用于此题，还可以在类似的问题中推广应用。通过构造法，我们可以将复杂的级数问题转化为更易于处理的形式，从而简化证明过程。
