矩阵特征值的初等变换求法

在探讨矩阵特征值的初等变换求法时，我们首先要明确，并不是所有的矩阵A都能通过相似变换化为对角矩阵B。即，并非总是能找到一个对角矩阵B，使得B中的对角线元素正好是A的特征值。

若矩阵A能够通过某个可逆矩阵P，使得PAP^-1=B，那么我们称A为可对角化的矩阵。此时，B的对角线元素即为A的特征值，且根据特征值的重数，相应的特征向量需要满足线性无关的条件。而P的列向量则是A的n个线性无关的特征向量，这些向量必须与B中的特征值排列次序相对应。

对于不能对角化的矩阵A，即无法找到n个线性无关的特征向量的情况，我们无法将其通过相似变换化为对角形式。此时，只能将其化为若当标准形，即由若当块组成的准对角形矩阵J。这种情况下，尽管PAP^-1=J成立，但P的列向量并不全为A的特征向量，其组成要根据A的特征值情况来确定。

需要指出的是，上述过程是不可能完全实现的。如果能够做到这一点，意味着能够解决任意多项式的求根问题，而这已经被证明是不可能的。因此，我认为在求解特征值的过程中，只有数值方法是可行的，而不会有理论上的求解析解的方法。