在解析函数f(a+b)=f(a).f(b)时，首先令a=b=0，得出f(0)=f(0)^2，因为f(0)≠0，所以f(0)=1。
继续解析，令a=b=x，得到f(2x)=f(x)^2。由于f(x)^2>0，说明f(2x)>0。因此，对于所有x∈R，f(x)均大于0。
接下来，令b>0，结合x>0时f(x)>1，可得f(b)>1。由此可知f(a+b)>f(a)，且a+b>a，说明f(x)在实数集R上为增函数。
进一步分析f(x).f(2x-x^2)=f(3x-x^2)>1，即f(3x-x^2)>f(0)。由于f(x)在R上为增函数，所以3x-x^2>0，从而得出0<3。
接着，考虑f(xy)=f(x)+f(y)，已知f(2)=1，容易推导出f(8)=3。对于不等式f(x)-f(x-2)>3，可以转换为f(x)>f(x-2)+f(8)。
进一步简化，得到f(8)+f(x-2)=f(8x-16)。由于函数f(x)在(0,+∞)上为增函数，所以x>8x-16，即x<16/7。
总结上述分析，我们得到了f(x)在特定条件下的性质以及不等式的解集，对于初学者来说，理解这些推导过程有助于加深对函数性质的理解。
在处理这类数学题目时，关键是逐步代入不同的变量值，利用函数的性质和给定条件进行推导，逐步缩小解题范围，直至得出最终结论。
通过详细解析这些步骤，不仅能够解决题目本身，还能提升逻辑思维能力和对函数性质的认识。
在实际应用中，这样的函数性质分析对于解决实际问题非常有用，比如在经济学中，通过类似的数学模型来预测市场趋势，或者在工程学中，利用函数模型来优化设计。
理解这些基本概念和方法，对提高数学素养和解决实际问题的能力大有裨益。
