思考题，若lim|f(x)|存在x趋近与于x。，问limf(x)x趋近于x。是否存在，反之如何?求

在分析函数极限时，我们常遇到这样一个问题：如果函数f(x)在某点x趋近时的绝对值极限lim|f(x)|存在，那么函数f(x)在该点的极限limf(x)是否一定存在？答案是否定的。我们可以构造一个反例来说明这一点。例如，考虑函数f(x) = sin(1/x)，当x趋近于0时，|f(x)| = |sin(1/x)|的极限存在且为0，因为-1 ≤ sin(1/x) ≤ 1，所以|sin(1/x)|的极限为0。然而，f(x) = sin(1/x)在x趋近于0时不存在极限，因为sin(1/x)在0附近无限震荡。

另一方面，如果limf(x)存在，那么lim|f(x)|一定存在。这是因为如果f(x)在某点x趋近时的极限为L，那么|f(x)|在该点的极限为|L|。具体来说，如果limf(x) = L，则对于任意ε > 0，存在δ > 0，使得当0 < |x - x0| < δ时，|f(x) - L| < ε。由于|f(x) - L| < ε等价于|f(x)| - |L| < ε，结合三角不等式，可以得到|f(x)| < |L| + ε。因此，当0 < |x - x0| < δ时，有||f(x)| - |L|| < ε，即lim|f(x)| = |L|。

总结来说，lim|f(x)|存在并不意味着limf(x)存在，但limf(x)存在则一定意味着lim|f(x)|存在。这种差异在处理函数极限时需要特别注意，因为绝对值可以将函数的振荡性减弱，从而使得某些原本不存在极限的函数在取绝对值后变得有界。