在一个直角三角形ABC中，角A为90度，且AB等于AC。在三角形ABC内部选取一点D，使得BD的长度等于AB，并且角ABD为30度。现在，我们需要证明AD的长度等于CD。
首先，我们可以利用直角三角形ABC的性质。因为AB等于AC，所以角ABC和角ACB都是45度。由于角ABD为30度，那么角CBD就是15度。
接下来，我们考虑三角形ABD。因为BD等于AB，所以三角形ABD是一个等腰三角形。在等腰三角形ABD中，角BAD等于角BDA。由于角ABD为30度，角BAD和角BDA各为75度。
然后，我们注意到角BAD和角CAD是三角形ABC的一个内角和一个外角。由于角CAD等于角ABC减去角CBD，即45度减去15度，等于30度。因为角BAD等于75度，所以角CAD也等于30度。
现在，我们考虑三角形ACD。因为角CAD等于角CAD，所以三角形ACD也是一个等腰三角形。在等腰三角形ACD中，AD等于CD。
综上所述，我们已经证明了在给定条件下，AD的长度确实等于CD的长度。
