当函数z=f(x,y)对于变量x和y的偏导数都等于零时，这意味着函数z=f(x,y)在x和y的变化上没有增量，即函数z=f(x,y)的值不会随x或y的变动而变化。换句话说，函数z=f(x,y)在任何点上的变化率均为零，因此它在定义域内是一个常数函数。
具体而言，如果\(\frac{\partial f}{\partial x}=0\)且\(\frac{\partial f}{\partial y}=0\)，则表明函数f(x,y)在x方向和y方向上都没有变化趋势。这实际上意味着函数f(x,y)的图像在所有方向上都呈现出水平线，没有斜率。因此，函数f(x,y)的图像是一条平行于x轴或y轴的直线，或者是一个平面，其z值在整个定义域内保持不变。
因此，当一个函数的偏导数在所有方向上都为零时，这个函数本质上是一个常数函数，其值在整个定义域内恒定不变，无论变量x和y取何值。
值得注意的是，这种情况下，我们也可以用数学表达式表示为：如果\(\frac{\partial f}{\partial x}=0\)且\(\frac{\partial f}{\partial y}=0\)，那么存在一个常数C使得f(x,y)=C对所有(x,y)成立。
这种性质在数学分析和多元微积分中是非常重要的，因为它帮助我们理解函数在不同方向上的变化特性。对于实际应用来说，如果某个物理量或经济指标的偏导数都为零，那么这个量在所有方向上都是不变的，这对于研究系统在不同条件下的稳定性和平衡状态具有重要意义。
