要证明函数 y=x^2 在实数集 R 上非一致连续，我们需要直接利用一致连续的定义进行证明。根据一致连续的定义，如果对所有 \(\varepsilon > 0\)，存在一个正数 \(\delta > 0\)，使得对于所有满足 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 的 \(x_1, x_2 \in R\)，都有 \(|f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon\) 成立，则函数 \(f(x)\) 在 \(R\) 上一致连续。反之，若存在某个 \(\varepsilon_0 > 0\)，对于任意的正数 \(\delta > 0\)，总能找到满足 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 的 \(x_1, x_2 \in R\)，使得 \(|f(x_1) - f(x_2)| \geq \varepsilon_0\)，则函数 \(f(x)\) 在 \(R\) 上非一致连续。
以函数 \(f(x) = x^2\) 为例，我们取 \(\varepsilon_0 = 1\)。假设存在某个 \(\delta > 0\)，使得对于所有满足 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 的 \(x_1, x_2 \in R\)，都有 \(|x_1^2 - x_2^2| < 1\)。我们考虑两个数 \(x_1 = n + \frac{\delta}{2}\) 和 \(x_2 = n + \frac{\delta}{4}\)，其中 \(n\) 是任意一个正整数。显然，\(|x_1 - x_2| = \frac{\delta}{4} < \delta\)。
计算 \(|x_1^2 - x_2^2|\)，我们得到 \(|(n + \frac{\delta}{2})^2 - (n + \frac{\delta}{4})^2| = |n^2 + n\delta + \frac{\delta^2}{4} - n^2 - n\delta - \frac{\delta^2}{16}|\)。化简后得到 \(|\frac{3\delta^2}{16}|\)。对于足够大的 \(n\)，我们可以让 \(\frac{3\delta^2}{16}\) 大于 \(1\)，这与我们的假设矛盾。因此，函数 \(f(x) = x^2\) 在实数集 \(R\) 上非一致连续。
一致连续性是一种强连续性条件，意味着函数在定义域内的任意两点间，只要距离足够小，函数值的变化也必须足够小。若函数在某个区间上一致连续，则在该区间上必定连续。但在 \(R\) 上，\(y = x^2\) 并不满足一致连续性的条件。
理解一致连续性的概念对于深入研究函数的性质非常重要。它揭示了函数在不同区间上的变化特性，帮助我们更好地理解函数的行为。通过证明 \(y = x^2\) 在 \(R\) 上非一致连续，我们可以进一步探索一致连续性在实分析中的应用。
