收敛函数是指当自变量趋于无穷大（包括无穷小或无穷大）时，函数值总是逼近某一固定值，称为函数的收敛。这种函数的自变量x是有界的，而函数值y则没有界限。
有界函数则指在某个区间内，对于任意属于该区间的x值，都存在一个常数M，使得函数值的绝对值总小于等于M。这意味着有界函数的函数值y是有界的，但自变量x可以无限变化。
有界函数具有以下性质：
1. 单调性：闭区间上的单调函数必有界，但其逆命题不成立。
2. 连续性：闭区间上的连续函数必有界，但其逆命题不成立。
3. 可积性：闭区间上的可积函数必有界，但其逆命题不成立。
4. 有界性：这是函数的基本性质之一。
5. 周期性：某些有界函数具有周期性。
根据定义，如果存在正数M，对于一切x∈A都有不等式|f(x)|≤M，则称函数f(x)在A上有界，否则则称函数f(x)在A上无界。
设f为定义在D上的函数，若存在数M（L），使得对每一个x∈D有：f(x)≤M（f(x)≥L）则称f在D上有上（下）界的函数，M（L）称为f在D上的一个上（下）界。
根据定义，f在D上有上（下）界，则意味着值域f(D)是一个有上（下）界的数集。又若M(L)为f在D上的上（下）界，则任何大于（小于）M（L）的数也是f在D上的上（下）界。
根据确界原理，f在定义域上有上（下）确界。
在数学中，函数的有界性是一个重要的概念，它有助于我们理解函数的行为和性质。了解收敛函数和有界函数的区别，可以帮助我们更好地分析和解决数学问题。
总之，收敛函数关注的是自变量趋于无穷时函数值的趋近情况，而有界函数则关注的是函数值的范围限制。两者各有特点，应用场景也有所不同。
