在探讨函数y(x)=(cosx)^3的导数时，我们运用了复合函数的求导法则。此函数可以视为一个复合函数的形式，其中外部函数为u^3，内部函数为u=cosx。根据链式法则，我们首先对外部函数u^3求导，得到3u^2；然后对内部函数cosx求导，得到-sinx。将内部函数的导数-sinx代入外部函数的导数3u^2中，得到最终的导数表达式为3(cosx)^2*(-sinx)=-3*(cosx)^2*sinx。
具体而言，y(x)=(cosx)^3，我们首先对整个函数进行分解，将其视为y=f(u)和u=g(x)的复合形式，即y=f(g(x))。这里，f(u)=u^3，g(x)=cosx。根据复合函数的求导法则，即链式法则，y'(x)=f'(g(x))·g'(x)。我们分步骤计算：
1. 对于f(u)=u^3，其导数f'(u)=3u^2。
2. 对于g(x)=cosx，其导数g'(x)=-sinx。
将上述步骤结合起来，我们得到y'(x)=f'(g(x))·g'(x)=3(cosx)^2*(-sinx)=-3*(cosx)^2*sinx。这个导数表达式描述了函数y(x)=(cosx)^3在任何x点处的变化率。
求导过程中的关键在于正确识别内外函数，并正确应用链式法则。通过这个例子，我们可以看到复合函数的求导不仅需要对基本的导数规则有深刻的理解，还需要灵活运用链式法则来处理复杂的函数形式。
此外，求导的过程还揭示了三角函数之间的内在联系。在这个特定的例子中，我们看到了cosx和sinx之间的关系在导数表达式中得到了体现，这对于深入理解三角函数的性质和应用是非常有益的。详情
