对于给定的多项式，我们可以通过因式分解来简化其形式，从而更清晰地了解其结构。
首先，我们观察第一个多项式 \(x^4 - 7x^2 + 1\)，通过运用平方差公式，我们可以将其转化为 \(x^4 - 2 \cdot \frac{7}{2}x^2 + \left(\frac{7}{2}\right)^2 - \left(\frac{3\sqrt{5}}{2}\right)^2 + 1\)，进一步转化为 \(\left(x^2 - \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\right)\left(x^2 - \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}\right)\)。这可以看作是两个完全平方项的差，进而通过完全平方公式进行因式分解。
接下来，我们考虑第二个多项式 \(a^2 - b^2 + 4a + 2b + 3\)。同样地，通过整理，我们可以将其转化为 \((a+b+1)^2 - (a-b+3)^2\)，然后运用平方差公式进行因式分解，得到 \((a+b+1+a-b+3)(a+b+1-a+b-3) = (a+b+4)(2b-2)\)。
对于第三个多项式 \(4x^3 - 31x + 15\)，我们首先进行因式提取，得到 \(x(4x^2 - 31 + 15)\)。然后，通过整理得到 \(x(4x^2 - 16 - 1) = x(4x-1)(x+1)\)。再次运用平方差公式，得到 \(x(x-1)(2x+1)(2x+5)\)。
最后，我们观察第四个多项式 \((c-a)^2 - 4(b-c)(a-b)\)。首先进行整理，得到 \([a-b+(b-c)]^2 - 4(a-b)(b-c)\)。然后，运用完全平方公式进行因式分解，得到 \((a-2b+c)^2\)。
通过上述因式分解过程，我们可以更清晰地看到每个多项式的结构，并理解其因式分解的原理和步骤。这种分解方法不仅有助于简化计算过程，还可以提高我们对多项式结构的理解和分析能力。
