在三角形ΔAB中，已知三边长度分别为a、b、c，以及三个角的比例关系：∠A:∠B:∠C=4:2:1。我们要证明的是：1/c = 1/a + 1/b。
以下是三种不同的证明方法：
第一种证明方法是三角证法。根据题意，我们可以得出∠A=4π/7, ∠B=2π/7, ∠C=π/7。利用正弦定理及恒等式，我们可以推导出sin(3π/7)= sin(4π/7), sin(2π/7)=2 sin(π/7) cos(π/7)。接着，我们可以计算1/sin(4π/7) + 1/sin(2π/7)的值，发现它等于1/sin(π/7)，而sin(π/7)恰好是c的对边长度，因此我们可以得出1/a + 1/b = 1/c。证明完毕。
第二种证明方法是代数证法。根据倍角三角形定理，我们可以得出∠A=2∠B，这意味着a^2=b(b+c)。同样地，∠B=2∠C，意味着b^2=c(a+c)。将这两个等式相加，我们可以得到a^2=c(a+b+c)。由此，我们可以推导出1/c=(a+b+c)/a^2=(b+c)/a^2+1/a=1/b+1/a。证明完毕。
第三种证明方法是几何证法。这里我们运用托勒密定理来证明。首先，在ΔABC的外接圆上，我们在BC的优弧上取一点D，使得BD=AD。连接BD、AD和CD，显然有AD=AC和CD=BC。根据托勒密定理，我们有AD*BC=AB*CD+BD*AC。将已知的边长代入，我们可以得到ba=ca+cb。最后，我们将等式两边同时除以abc，即可得到所证明的结论。
