在解析几何中，射影定理是一个重要的基础定理，它与正弦定理有着紧密的联系。射影定理主要用于解决三角形中的边长与高之间的关系。假设在直角三角形中，设一直角边为a，另一直角边为b，斜边为c，高为h，则射影定理可以表示为：a²=c·d，b²=c·e，其中d和e分别是a、b在斜边c上的射影。
在非直角三角形中，我们可以通过构造辅助线，将其分割成多个直角三角形，然后应用射影定理。设三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，则可以构造三角形ABD，其中角BDA=90°，BD为高，根据射影定理有：BD²=AD·CD，进而可以推导出正弦定理。正弦定理的表达式为：a/sinA=b/sinB=c/sinC。
推导过程如下：在三角形ABC中，作BD⊥AC于D，则有AD、CD、BD分别为边a、b、c在边AC上的射影。根据射影定理有：a²=c·AD，b²=c·CD，即AD=c·cosB，CD=c·cosA。根据勾股定理，有BD²=AB²-AD²=BC²-CD²，即BD²=b²-c·cosA²=a²-c·cosB²，即b²-c·cosA²=a²-c·cosB²。将AD、CD代入，得到：b²-c·c·cosA²=a²-c·c·cosB²，即b²-c²·cosA²=a²-c²·cosB²。将上式转化为正弦的形式，得到：b/sinB=a/sinA，即a/sinA=b/sinB。同样可以推导出c/sinC=b/sinB，从而得到正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC。
正弦定理在解决三角形问题时有着广泛的应用，它不仅可以求解三角形的边长，还可以求解三角形的面积，以及在实际问题中解决一些与三角形有关的问题。正弦定理的推导过程体现了数学的严谨性和逻辑性，也是学习数学的重要环节。
