在探讨矩阵A的可逆性及其逆矩阵的判定过程中，我们首先可以观察到一个重要的等式：AA* = A*A = |A|E，这里的A*是A的伴随矩阵，E是单位矩阵。
通过这个等式，我们可以进一步推导出(A/|A|)A* = E。这一步骤意味着我们已经得到了一个形式上类似于逆矩阵定义的表达式AB = BA = E，其中A/|A|可以被视为矩阵A的一个候选逆矩阵。
根据逆矩阵的基本定义，如果存在矩阵B使得AB = BA = E，则称B为A的逆矩阵。因此，在上述推导中，我们已经证明了A/|A|满足这一条件，即A的逆矩阵可以表示为A*/|A|。
进一步地，我们还介绍了矩阵行列式的基本性质，即|aA| = a^n |A|，其中n表示行列式的阶数。利用这一性质，我们可以推导出|A^(-1)| = |A*|/|A|^n，从而得到|A|^n |A^(-1)| = |A*|。
通过观察|A| |A^(-1)| = 1，我们可以进一步得出|A|^(n-1) = |A*|。这意味着，如果矩阵A的行列式不为零（即|A| ≠ 0），那么A是可逆的，其逆矩阵A*也是可逆的。
这一结论揭示了矩阵A和其逆矩阵A*之间可逆性的直接联系。在实际应用中，这为我们提供了一种有效的方法来判断一个矩阵及其逆矩阵的可逆性。
