19. 解：解法一：
(1) 因为 |AB| + |AF2| + |BF2| = 8，即 |AF1| + |F1B| + |AF2| + |BF2| = 8，又 |AF1| + |AF2| = |BF1| + |BF2| = 2a，所以 4a = 8，a = 2。又因为 e = 12，即 ca = 12，所以 c = 1，所以 b = a² - c² = 3。故椭圆E的方程是 x²/4 + y²/3 = 1。
(2) 由 y = kx + m 和 x²/4 + y²/3 = 1，得 (4k² + 3)x² + 8kmx + 4m² - 12 = 0。因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x₀, y₀)，所以 m ≠ 0 且 Δ = 0，即 k²m² - 4(4k² + 3)(4m² - 12) = 0，化简得 4k² - m² + 3 = 0。(*)
此时 x₀ = -4km/(4k² + 3) = -4km，y₀ = kx₀ + m = 3m，所以 P(-4km, 3m)。
由 x = 4，y = kx + m 得 Q(4, 4k + m)。
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。设M(x₁, 0)，则 MP → · MQ → = 0 对满足(*)式的m、k恒成立。
因为 MP → = -4km - x₁，3m，MQ → = (4 - x₁, 4k + m)，由 MP → · MQ → = 0，
得 -16km + 4kx₁m - 4x₁ + x₂₁ + 12km + 3 = 0，
整理，得 (4x₁ - 4)km + x₂₁ - 4x₁ + 3 = 0。(**)
由于(**)式对满足(*)式的m,k恒成立，所以 4x₁ - 4 = 0，x₂₁ - 4x₁ + 3 = 0，解得 x₁ = 1。
故存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。
解法二：
(1) 同解法一。
(2) 由 y = kx + m 和 x²/4 + y²/3 = 1，得 (4k² + 3)x² + 8kmx + 4m² - 12 = 0。
因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x₀, y₀)，所以 m ≠ 0 且 Δ = 0，
即 k²m² - 4(4k² + 3)(4m² - 12) = 0，化简得 4k² - m² + 3 = 0。(*)
此时 x₀ = -4km/(4k² + 3) = -4km，y₀ = kx₀ + m = 3m，所以 P(-4km, 3m)。
由 x = 4，y = kx + m，得 Q(4, 4k + m)。
假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上。
取 k = 0，m = 3，此时 P(0, 3)，Q(4, 3)，以PQ为直径的圆为 (x - 2)² + (y - 3)² = 4，交x轴于点 M₁(1, 0)，M₂(3, 0)；
取 k = -1/2，m = 2，此时 P(-1, 3/2)，Q(4, 0)，以PQ为直径的圆为 (x - 5/2)² + (y - 3/2)² = 45/16，交x轴于点 M₃(1, 0)，M₄(4, 0)。
所以若符合条件的点M存在，则M的坐标必为(1,0)。
以下证明M(1,0)就是满足条件的点：
因为M的坐标为(1,0)，所以 MP → = -4km - 1，3m，MQ → = (3, 4k + m)，
从而 MP → · MQ → = -12km - 3 + 12km + 3 = 0，
故恒有MP → ⊥ MQ →，即存在定点M(1,0)，使得以PQ为直径的圆恒过点M。
