这类题目一般求解极限较为直接，首先求极限，再证明极限存在。若给定递推公式为a[n+1]=f(a[n])，求极限时只需解方程x=f(x)，则x即为所求极限值。
接下来需要证明极限的存在性，即证明lim a[n] = x，即lim (a[n]-x) = 0。可以通过构造一个递推关系来实现，比如证明|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|(0<q<1)。这样可以确保数列收敛于x。
进一步地，为了证明这个结论，我们可以使用数学归纳法。假设我们已经证明了对于某个n，有|a[n]-x|≤q^(n-1)|a[1]-x|，接下来证明n+1时也成立。即证明|a[n+1]-x|≤q^n|a[1]-x|。利用递推关系a[n+1]=f(a[n])和|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|，可以得到|a[n+1]-x|≤q|a[n]-x|≤q*q^(n-1)|a[1]-x|=q^n|a[1]-x|，从而完成证明。
通过上述方法，我们不仅能够求出极限值，还能证明极限的存在性。这种方法不仅适用于递归不单调数列，也适用于其他类型的问题。关键在于找到合适的递推关系和证明方式，确保数列收敛。
总结来说，求解递归不单调数列的极限，首先要通过解方程求出极限值，然后通过构造递推关系和数学归纳法证明极限的存在性。这种方法不仅能帮助我们找到极限值，还能确保数列确实收敛。
