欧拉积分∫(0到正无穷)x^(a-1)*e^(-x^2)dx的收敛域为
来源：懂视网
责编：小OO
时间：2024-12-24 06:35:28
欧拉积分∫(0到正无穷)x^(a-1)*e^(-x^2)dx的收敛域为
当a>；=1时，需要考虑x趋于无穷的情况。此时，x^(a-1)相比e^x而言都是无穷小，而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的。当a<；=1时，应关注x趋于0的情形。e^(-x^2)可以近似为1，相当于x^(a-1)的收敛性分析。由此可知，a<；0时，原函数与x^a同阶，因此不会收敛。在a>；0的情况下，积分没有问题。特别地，a=0时，相当于ln(x)，也不满足收敛条件。
导读当a>；=1时，需要考虑x趋于无穷的情况。此时，x^(a-1)相比e^x而言都是无穷小，而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的。当a<；=1时，应关注x趋于0的情形。e^(-x^2)可以近似为1，相当于x^(a-1)的收敛性分析。由此可知，a<；0时，原函数与x^a同阶，因此不会收敛。在a>；0的情况下，积分没有问题。特别地，a=0时，相当于ln(x)，也不满足收敛条件。
欧拉积分的收敛域为a>0。
当a>=1时，需要考虑x趋于无穷的情况。此时，x^(a-1)相比e^x而言都是无穷小，而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的。
当a<=1时，应关注x趋于0的情形。e^(-x^2)可以近似为1，相当于x^(a-1)的收敛性分析。由此可知，a<0时，原函数与x^a同阶，因此不会收敛。
在a>0的情况下，积分没有问题。
特别地，a=0时，相当于ln(x)，也不满足收敛条件。
欧拉积分∫(0到正无穷)x^(a-1)*e^(-x^2)dx的收敛域为
当a>；=1时，需要考虑x趋于无穷的情况。此时，x^(a-1)相比e^x而言都是无穷小，而e^x*e^(-x^2)显然是收敛的。当a<；=1时，应关注x趋于0的情形。e^(-x^2)可以近似为1，相当于x^(a-1)的收敛性分析。由此可知，a<；0时，原函数与x^a同阶，因此不会收敛。在a>；0的情况下，积分没有问题。特别地，a=0时，相当于ln(x)，也不满足收敛条件。
