1. 以方程（4.13）为例，我们来探讨Boltzmann变换的基本思想。通过引入新变量，我们可以将地下水运动方程中的水头H（x，t）随空间变化的偏导数表示为：
2. 同样，地下水运动方程中水头随时间变化的偏导数可以表示为：
3. 通过这样的变换，方程（4.13）可以转化为地下水运动方程。由于此时只有一个自变量φ，我们称之为Boltzmann空间。这种变换将（x，t）空间的问题转换为Boltzmann空间的问题，使得求解更为方便。
4. 令地下水运动方程，则方程（4.74）可以简化为一个简单的常微分方程：
5. 该方程的通解为：
6. 代入方程（4.75），我们得到另一个常微分方程：
7. 其通解可以表示为：
8. 因此，利用Boltzmann变换，我们可以轻松得到上述偏微分方程的通解。
9. 根据误差函数erf（u）和余误差函数erfc（u）的性质，上述通解还可以表示为：
10. 需要注意的是，只有控制方程、初始条件、边界条件三者均能向Boltzmann空间转换，才能使用Boltzmann变换进行求解。
11. 此外，使用以下变量，我们也可以对上述偏微分方程进行变换，这被称为修正的Boltzmann变换（Bear，1972）：
