函数f(x)可导一定连续？



在数学中，一个函数f(x)如果在某点可导，那么它在该点必须连续。这是因为可导性的定义要求左极限和右极限在该点相等，而连续性的定义则要求函数值在该点等于极限值。因此，如果一个函数在某点不可导，意味着它的左极限和右极限在该点不相等，这直接违反了可导性的条件，从而导致函数在该点不连续。

以y=|x|为例，在x=0处，尽管函数在该点连续，但它不可导。这是因为当x从左侧趋近于0时，|x|趋近于0；而当x从右侧趋近于0时，|x|也趋近于0，但函数的定义在正数和负数是不同的，导致左极限和右极限虽然数值上相等，但在形式上不同，因此在x=0处不可导。

然而，连续性并不意味着可导性。例如，函数f(x)=x^2在所有实数上都是连续的，且在所有实数上都是可导的。但存在一些函数，例如f(x)=|x|在x=0处连续但不可导，这表明连续性只是可导性的必要条件，而非充分条件。

总之，可导性的定义要求左极限和右极限相等，从而保证了在该点连续。但如果一个函数在某点连续但不可导，说明该点的左极限和右极限虽然相等，但在形式上存在差异，导致导数不存在。详情