初二数学分式化简（请高手进入）

首先处理已知条件(a³+b³+c³-3abc)/(a+b+c)的化简。我们先对分子进行化简：

a³+b³+c³-3abc 可以利用完全立方公式对a，b进行配方：

= (a+b)³-3a²b-3ab² +c³-3abc

再用一次完全立方公式：

= (a+b+c)³-3(a+b)²c-3(a+b)c² -3a²b-3ab² -3abc

然后提取公因式3：

= (a+b+c)³-3[(a+b)²c+(a+b)c²+a²b+ab²+abc]

先提取括号里的前两项公因式(a+b)c：

= (a+b+c)³-3[(a+b)c(a+b+c)+a²b+ab²+abc]

再提取后面三项的公因式ab：

= (a+b+c)³-3[(a+b)c(a+b+c)+ab(a+b+c)]

再提取公因式(a+b+c)：

= (a+b+c)³-3(a+b+c)[(a+b)c+ab]

最终得到：

= (a+b+c)[(a+b+c)²-3[(a+b)c+ab]]

对右边括号里面的进行化简，全部展开省略一些步骤，直接得出：

= (a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)

现在分子化简完了，可以约分了，所以从已知条件可以得到a²+b²+c²-ab-bc-ac=3。

现在看题目，要求：(a-b)²+(b-c)²+(a-b)(b-c)的值。

对该式子进行化简，全部展开：

(a-b)²+(b-c)²+(a-b)(b-c) = a²+b²-2ab +b²+c²-2bc +ab-b²-ac+bc

= a²+b²+c²-ab-bc-ac

可以看出，这个式子和上面条件化简出来的式子是一样的，所以(a-b)²+(b-c)²+(a-b)(b-c)=3。

接下来令(a+b)/(a-b)=(b+c)/[2(b-c)]=(c+a)/[3(c-a)]=k，

则有a+b=k(a-b)，b+c=2k(b-c)，c+a=3k(c-a)。

将8a+9b+5c进行如下变换：

8a+9b+5c = 6(a+b)+3(b+c)+2(a+c)

将上面带有k的式子代入，可得：

= 6k(a-b)+6k(b-c)+6k(c-a)

= 0

证毕。