锐角三角形ABC中 已知√3a=2cSinA c=√3 则三角形ABC的周长的取值范围

在锐角三角形ABC中，已知√3a=2cSinA，c=√3，则可以通过正弦定理求解三角形ABC的周长取值范围。

首先，我们有√3a=2csinA，由此可得a/c=2sinA / √3。

根据正弦定理，a/c=sinA / sinC，因此sinC=√3 /2，从而∠C=π/3。

由于c=√3，再利用正弦定理可得a/sinA =b/sinB=c/sinC=√3 /(√3/2)=2。

进而得出a=2sinA，b=2sinB，且A+B=π-C=π-π/3=2π/3。

因此，B=2π/3-A。

三角形ABC的周长可表示为a+b+c=2(sinA+sinB)+√3=2[sinA+sin(2π/3-A)]+√3=2√3sin(A+π/6)+√3。

因为ABC是锐角三角形，所以π/6<A<π/2，进而得出A+π/6∈(π/3,2π/3)。

因此，三角形ABC的周长取值范围是(3+3√3,3√3+2√3)。

总结而言，通过上述推导过程，我们得出锐角三角形ABC的周长取值范围为(3+3√3,3√3+2√3)。