解答：(1) ∵a+b+c=0；∴x=1是ax²+bx+c=0的一个根，假设方程ax²+bx+c=0的两根为x1,x2，则x1*x2=c/a，设x1=1，则x2=c/a≠1；所以f(x)有不同的两个零点，即(1,0),(c/a,0)。
(2)（第一小问）令g(x)= ax²+bx+a+c，则g(x)可以看成是将f(x)向上平移a个单位，由于x0∈R（原题中写x不好区分，故改为x0），使ax²+bx+a+c =0成立，所以x0∈(c/a,1)，c/a=-(a+b)/a=(-b/a-1)>-2，所以x0+3>1，所以f(x0+3)的符号一定为正值。
（第二小问）由于方程 ax²+bx+a+c =0有实数根，所以∆=b²−4a(a+c)= b²+4ab=b(b+4a)=b(−a−c+4a)=b(3a−c)>0；∵3a−c>0，∴b>0；由于g(0)= a+c=−b<0, g(x)= ax²+bx+a+c的图像又是开口向上的，所以g(x)= ax²+bx+a+c必有两个零点，假设为（x′1,0）(x′2,0) 且x′1<0, x′2>0,又因为g(x)= ax²+bx+a+c是由f(x)向上平移a个单位而得到，根据图像特点我们可以得到（x′1,0）(x′2,0)两点必在(1,0),(c/a,0)之间，即c/a <0 <1，所以方程ax²+bx+a+c=0 在区间（c/a，0）和（0，1）内各有一个实根。
通过上述分析，我们可以得出，对于给定的条件，方程ax²+bx+a+c=0在特定区间内有实数根的条件是b>0且3a−c>0。同时，通过平移变换，我们也可以确定另一个根的位置。
进一步地，对于g(x)函数，由于它由f(x)向上平移a个单位得到，因此其零点的位置相对于f(x)发生了变化，但依然位于(1,0)和(c/a,0)之间，确保了方程的两个实数根分别位于(c/a,0)和(0,1)之间。
总之，通过对方程和函数的深入分析，我们不仅确定了方程的根的存在性，还精确地找到了根的位置，这对于解决这类数学问题至关重要。
总结，这类题目考察的是学生对二次方程根的判别式、平移变换以及函数图像的理解和应用能力。通过这类题目，可以有效提升学生的数学思维能力和解题技巧。
