高数数项级数求和，一般求和怎么求？我只会已知常见的函数，然后凑，但是很多都是不常见的，如何求？



在解决数项级数求和问题时，特别是对于幂级数，我们需要了解一些基本的技巧和步骤。以一个具体的例子来说，如果我们要求解级数S=∑[(n+1)x^n]/(n!)在x=1/2时的值，可以将其看作是一个幂级数的求和问题。我们首先将级数重新写为S=∑[x^(n+1)/(n!)]'，然后进一步简化为[x∑(x^n)/(n!)]'。我们知道∑(x^n)/(n!)实际上是e^x的泰勒展开，因此S可以写为[xe^x]'。通过求导，我们得到S=(x+1)e^x。考虑到题目中n=1而非0，我们最终的结果为(3/2)e^(1/2)-1。

而对于另一道题，S=∑[x^n]/(n+1)!，我们同样可以采用类似的方法。首先，将S写为xS=∑[x^(n+1)]/(n+1)!，进一步可以得到e^x。但由于n从1开始而非0，我们需要从展开式中去除n=0和n=1的项。因此，原式最终可以简化为(e^x-1-x)/x。这为我们提供了一个解决这类问题的思路，即通过适当的变换将复杂的级数转化为我们熟悉的函数形式，从而简化求和过程。

这种方法不仅适用于已知常见函数的情况，还可以推广到许多其他类型的级数求和问题。关键在于识别级数与已知函数之间的关系，并通过适当的数学技巧进行转化。这种技巧的掌握需要大量的练习和对数学概念的深入理解。希望以上分析能够帮助你在解决类似的数项级数求和问题时更加得心应手。