在不等式证明中，我们利用了几个重要的结论。首先，切比雪夫不等式表明，对于有序的数列，其加权和的均值大于等于各数的均值与权重均值的乘积。具体地，若 \(a_1 \geq a_2 \geq \ldots \geq a_n\)，\(b_1 \geq b_2 \geq \ldots \geq b_n\)，则有：\[n(a_1b_1 + a_2b_2 + \ldots + a_nb_n) \geq (a_1 + a_2 + \ldots + a_n)(b_1 + b_2 + \ldots + b_n)\]
其次，平均不等式指出，对于任意正实数 \(a, b, c\)，我们有：\[\frac{a^n + b^n + c^n}{3} \geq \left( \frac{a + b + c}{3} \right)^n\]
再者，我们有著名的不等式：\[\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}\]
为了证明这个不等式，我们首先将其转换为一个更加易于处理的形式：\[\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = \frac{a+b+c}{a+b} + \frac{a+b+c}{b+c} + \frac{a+b+c}{c+a} - 3\]
通过进一步的代数变换，我们可以得到：\[\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} = 0.5 \cdot \frac{(a+b+b+c+c+a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} - 3 \geq 0.5 \cdot 3 \cdot \frac{3}{(a+b)(b+c)(c+a)} - 3 = \frac{3}{2}\]
接下来，我们考虑一个具体的不等式证明。假设 \(a \geq b \geq c\)，则有：\[\frac{1}{b+c} \geq \frac{1}{a+c} \geq \frac{1}{a+b}\]
利用上述结论，我们有：\[\frac{a^{n-1}}{b+c} \geq \frac{b^{n-1}}{a+c} \geq \frac{c^{n-1}}{a+b}\]
根据切比雪夫不等式，可以得到：\[\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{a+c} + \frac{c^n}{a+b} \geq \frac{1}{3} \left( a^{n-1} + b^{n-1} + c^{n-1} \right) \left( \frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b} \right)\]
进一步简化，我们得到：\[\frac{a^n}{b+c} + \frac{b^n}{a+c} + \frac{c^n}{a+b} \geq \left( \frac{a+b+c}{3} \right)^{n-1} \cdot \frac{3}{2} = \left( \frac{2s}{3} \right)^{n-2} \cdot s^{n-1}\]
最后，我们证明了 \(a^3 + b^3 \geq a^2b + ab^2\)，通过展开与化简，可以得到：\[a^3 + b^3 - (a^2b + ab^2) = a^2(a - b) - b^2(a - b) = (a^2 - b^2)(a - b) = (a + b)(a - b)^2 \geq 0\]
因此，我们得到了：\[\frac{abc}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{abc}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{abc}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{a^3 + b^3 + abc} + \frac{1}{b^3 + c^3 + abc} + \frac{1}{c^3 + a^3 + abc} \leq \frac{1}{abc}\]
