若当标准型与矩阵的特征值和特征向量有什么关系

■ 举例: A为(3×3)矩阵，故有3个特征值。对λ1(单根) → 求出特征向量p1；对λ2＝λ3(二重根)，设代数重数2﹥几何重数1，∴特征向量矩阵有一列0向量，由此判定该特征向量矩阵不可逆，矩阵相似变换等式(P逆)AP＝Λ不成立，A不可能化简为对角阵Λ。我们退一步而求其次，A不能化简为对角阵，但可求出简单程度仅次于Λ的Jordan矩阵。现求特征向量p2及广义特征向量ξ3，令相似变换矩阵 G＝( p1、p2、ξ3 ) 。于是有 (G逆).A.G＝J ( J是Jordan矩阵 )。一般将对角阵Λ视为若当阵J之特例。这些知识在《线性系统理论》求解电路一阶线性微分方程组有实际应用。
■ 广义特征向量怎么求？答:①求对应λ2(＝λ3)齐次方程组通解 ，设通解 (即特征向量) 为p2。②将特征向量视为常数项写入原方程组，求非齐次方程组之解，现令解为ξ3，ξ3 即所谓广义特征向量。MMA求解方法: 写出增广矩阵，用RowReduce命令化为行最简形，化简后常数项即变为方程组之解 ξ3。