当x趋近于0时，考虑求极限的问题：\(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(3x)}{5x}\)。
我们知道当x趋向于0时，\(\arctan(3x)\)可以近似等于\(3x\)，因此原式可以近似简化为\(\lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x}\)。
进一步化简后，\(\lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}\)。
所以，当x趋近于0时，\(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(3x)}{5x} = \frac{3}{5}\)。
这个结论是基于泰勒级数展开或洛必达法则来得出的。通过泰勒展开，\(\arctan(3x)\)在x趋近于0时可以近似为\(3x - \frac{(3x)^3}{3} + O(x^5)\)，进一步简化后得到\(\frac{\arctan(3x)}{5x} \approx \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}\)。
此外，应用洛必达法则，对分子分母分别求导，即\(\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx} \arctan(3x)}{\frac{d}{dx} 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + (3x)^2}}{5} = \frac{3}{5}\)。
因此，无论采用哪种方法，我们都可以得到相同的当x趋近于0时，\(\lim_{x \to 0} \frac{\arctan(3x)}{5x} = \frac{3}{5}\)。
这个极限的计算展示了如何处理涉及反正切函数的极限问题，特别是在x接近0的情况下。
