f''(x) = d²y/dx²，这是函数f(x)的二阶导数，它描述了函数曲线切线斜率的变化速度。当二阶导数大于0时，表示函数的曲线是向上凹的，即函数在该区间上是凹函数；反之，如果二阶导数小于0，那么函数的曲线是向下凹的，即函数在该区间上是凸函数。
当f''(x) = 0时，意味着函数在该点处可能存在拐点。拐点是函数从凹变凸或从凸变凹的转折点。在拐点处，二阶导数从正变为负或从负变为正，这表明函数的凹凸性发生了改变。
进一步地，如果在某个区间I上，f''(x) > 0恒成立，那么对于区间I上的任意两点x和y，总有f(x) + f(y) ≥ 2f[(x+y)/2]。这表明在该区间上，函数值的算术平均值大于或等于任意两点函数值的中点函数值。
相反，如果在区间I上f''(x) < 0恒成立，那么对于区间I上的任意两点x和y，总有f(x) + f(y) ≤ 2f[(x+y)/2]。这意味着在该区间上，函数值的算术平均值小于或等于任意两点函数值的中点函数值。
从几何角度来看，如果f''(x) > 0在区间I上恒成立，那么函数的图像上任意两点连成的线段，这两点之间的函数图像都会位于该线段的下方。反之，如果f''(x) < 0在区间I上恒成立，则函数图像在这两点之间都会位于该线段的上方。
