解：（1）过M只有一条切线，说明点M在圆上，则：1²+a²=4，解得：a=√3或a=-√3。切线方程为：y=√3/3（x-1）-√3或y=-√3/3（x-1）+√3。
（2）如图，作OE⊥AC、OF⊥BD，分别连接OB、OM、OC。则：OE²=OC²-CE²，OF²=ME²=OM²-OE²=OM²-(OC²-CE²)=OM²+CE²-OC²。
BF²=OB²-OF²=OB²-(OM²+CE²-OC²)=OB²+OC²-OM²-CE²=2(OB)²-OM²-CE²。
由题意知：OB=2、OM=√3，故：BF=√(5-CE²)。
则：AC+BD=2CE+2BF=2(CE+BF)=2[CE+√(5-CE²)]。
由不等式x+y≤√[2(x²+y²)]得：CE+√(5-CE²)≤√[2(CE²+5-CE²)]=√10。
所以：AC+BD≤2√10，即AC+BD的最大值为2√10。
进一步分析，我们可以将上述不等式转换为：(CE+√(5-CE²))²≤2(CE²+5-CE²)。
展开并简化得：CE²+2CE√(5-CE²)+(5-CE²)≤10。
进一步整理得：2CE√(5-CE²)≤5。
再次利用不等式x+y≤√[2(x²+y²)]，可以得到：2CE√(5-CE²)≤√2(CE²+(5-CE²))=√10。
因此，我们再次确认：AC+BD的最大值为2√10。
此外，我们还可以通过几何图形直观理解这个问题。设圆心为O，圆的半径为2，M为圆上的一点，过M作切线，则切线与圆相切于M点。根据圆的性质，过圆外一点作圆的切线，只有一条。
最后，我们总结一下，通过上述分析，我们可以得出AC+BD的最大值为2√10。
