微分方程y″-y=ex+1的一个特解应具有形式（式中a、b为常数）（　　）A．aex+bB．axex+bC．aex+bxD．axex+



在探讨微分方程y″-y=ex+1的特解时，我们首先尝试逐一验证每个选项的形式。我们考虑选项A：aex+b。对其进行二阶导数运算后，我们发现(aex+b)″-（aex+b）=aex-（aex+b）=-b，这表明它不符合原方程。接下来我们验证选项B：axex+b。通过计算，我们得知(axex+b)′=axex+aex，而(axex+b)″=axex+2aex，因此(axex+aex)″-（axex+b）=2aex-b。选取a=1/2，b=-1时，满足原方程的要求，故正确答案为B。

另外一种解法是利用微分方程解的结构。我们知道，若y1=y1（x）为微分方程y″-y=ex的特解，y2=y2（x）为微分方程y″-y=1的特解，则y=y1（x）+y2（x）为y″-y=ex+1的特解。对于齐次方程y″-y=0，其特征方程λ2-1=0，特征根为1，-1。对于y″-y=ex，λ=1是特征方程λ2-1=0的单根，因此一个特解y1（x）具有y1（x）=axex的形式。对于y″-y=1，λ=0不是特征方程λ2-1=0的根，因此其一个特解y2（x）具有y2（x）=b的形式。综上所述，题中微分方程的一个特解具有y=y1（x）+y2（x）=axex+b的形式。

通过上述两种解法，我们可以看出选项B：axex+b是满足条件的正确答案。这个结论不仅基于直接验证，也符合微分方程解的结构理论。因此，正确选项为B。