我们可以通过对原式进行化简来分析矩阵A的性质。给定条件是A(A^2-6A+11I)=6I，将其展开并整理，可以得到A^3-6A^2+11A-6I=0。这个方程实际上代表了A的特征方程p^3-6p^2+11p-6=0，其中p代表A的特征值。我们接下来求解这个三次方程。
对特征方程p^3-6p^2+11p-6=0进行求根，通过观察或使用求根公式，可以发现其解为p=1、2、3。这些解均为正数，表明A的所有特征值都是正数。
对于实对称矩阵A，其特征值全部为实数。既然A的特征值均为正数，根据正定矩阵的定义，一个n阶实对称矩阵A如果所有特征值都是正数，则A是正定矩阵。因此，我们可以断定矩阵A是正定矩阵。
正定矩阵的一个重要性质是它对应的二次型是正定的，这意味着对于任意非零向量x，x^TAx>0。另外，正定矩阵的行列式大于零，且所有顺序主子式都大于零。这些性质在后续的矩阵理论和应用中具有重要意义。
综上所述，通过分析A的特征值，我们证明了A是一个正定矩阵。这一结论不仅加深了我们对矩阵理论的理解，也为解决相关问题提供了有力工具。
