数学中的指数函数可以展开为幂级数，其中e^x的幂级数形式为：e^x = 1 + x + (x^2)/2! + (x^3)/3! + ... + (x^n)/n! + ... 而e^(-x)的幂级数形式为：e^(-x) = 1 - x + (x^2)/2! - (x^3)/3! + ... + [(-1)^n](x^n)/n! + ... 通过将这两个幂级数相减，我们可以得到原式1/2(e^x - e^-x)的展开形式：x + (x^3)/3! + (x^5)/5! + ... + [x^(2n-1)]/(2n-1)! + ... 这个级数只包含奇数次幂项。
当我们需要展开函数时，通常会利用已知的幂级数展开式来简化计算过程。在这个例子中，通过利用e^x和e^(-x)的幂级数展开式，我们可以方便地得到1/2(e^x - e^-x)的幂级数展开形式。
这个幂级数展开式的应用非常广泛，特别是在微积分、数学分析等领域中，它可以帮助我们更好地理解和解决问题。此外，幂级数展开式还可以用于近似计算，尤其是在数值分析和计算机科学中。
在这个展开式中，每一项都包含一个奇数次幂项，这使得它在许多实际问题中非常有用。例如，在物理学和工程学中，许多物理量可以表示为这种形式的级数展开，从而方便我们进行计算和分析。
如果你对这个展开式有任何疑问或需要进一步解释，请随时提问。希望这个解答能对你有所帮助。
