证明一个函数在其定义域内可导和连续，来个例子最好

举例说明一个函数在其定义域内可导且连续，我们选取一个常见的二次函数y=x²。该函数在其定义域R上连续可导，其导函数为y'=2x。

具体而言，对于任意x∈R，函数y=x²在x处的导数可以表示为y'。通过导数的定义，我们知道y'表示函数在某点处的瞬时变化率。对于y=x²，我们有y'=2x。这意味着，对于定义域内的任一x值，y'=2x都成立。例如，当x=1时，y'=2；当x=2时，y'=4。由此可见，该函数在任意一点的导数值均存在且连续。

进一步地，我们可以通过图形直观理解函数y=x²的连续性。该函数在定义域R上的图像为一个开口向上的抛物线，无任何间断点。这意味着对于定义域内的任意x值，函数y=x²均存在对应的y值，且函数值随x的变化连续变化。

总结而言，函数y=x²不仅在其定义域R上连续，而且处处可导。其导函数y'=2x清晰地描述了函数在任意一点的瞬时变化率，且该导函数本身也是连续的。