圆内接三角形的角平分线一定过圆心吗



是的。
其发布的《内接圆的三角形的性质》中显示，圆内接三角形的角平分线是一定过圆心的。有以下这些证明方法：
一种证明方法是利用三角形的内心和外心的性质。三角形的内心是三个角的角平分线的交点，到三角形各边的距离相等，所以内心是内切圆的圆心。三角形的外心是三个边的垂直平分线的交点，到三角形各顶点的距离相等，所以外心是外接圆的圆心。如果一个三角形是圆内接的，那么它的外接圆就是这个圆，所以它的外心就是这个圆的圆心。由于内心和外心都在同一个角平分线上，所以这个角平分线一定过圆心。
另一种证明方法是利用相似三角形和等比中项定理。如图2，在圆内接三角形ABC中，AD为∠BAC的角平分线，交BC于D，O为圆心，连接AO、BO、CO。由于∠BAD=∠CAD，所以△ABO～△ACO，根据等比中项定理，有AO/BO=AO/CO，即BO=CO。同理可证，DO=EO。因此，△BOD≌△COE，所以∠BOD=∠COE。又因为∠BOC=2∠BAC，所以∠BOD+∠DOE=∠BAC。由此可知，AD是∠BOE的角平分线。又因为AD过O点，所以O点在AD上。因此，圆内接三角形的角平分线一定过圆心。