法律分析：
第一，如果和用人单位继续签订的劳动合同的。劳动合同到期，只要本人和用人单位协商一致的，可以续签劳动合同；与用人单位签订两次劳动合同，还可以签订无固定期限劳动合同，在这种情况下，五险一金的问题，就不是问题，就应该由原单位一直缴纳，直到达到法定的退休年龄并办理退休为止。第二，不愿续签劳动合同的。如果和用人单位劳动合同到期，本人又不愿意再和用人单位续签劳动合同的，从劳动合同关系解除的第二个月起，原用人单位将不再为其缴纳五险一金；如果到新的单位就业，五险一金在同一个社保统筹区内的，不用办理社保关系转移，直接到新单位就业后，由新的用人单位在原来账户上继续缴纳五险一金。但是如果有的单位只缴纳三险或是五险的，住房公积金无法继续缴纳；如果新就业的单位不在同一个社保统筹区的，需要办理社保关系的转移才能由新单位继续缴纳。第三，合同到期后自主择业的。合同到期后，既没有新的就业单位，而是个人自主择业的，如果社保关系在同一个社保统筹区内的，可以到当地社保部门办理社保缴纳主体变更。就是由单位缴纳变更为个人缴纳，但这时只能缴纳养老保险和医疗保险，失业保险、生育险、工伤保险和住房公积金本人无法再缴纳；如果不在同一个社保统筹区的，需要将社保关系转移，主要是养老保险和医疗保险关系转移到户籍所在地才能继续缴纳，住房公积金可按当地规定作提现处理。
法律依据：
《中华人民共和国社会保险法》
第四条 中华人民共和国境内的用人单位和个人依法缴纳社会保险费，有权查询缴费记录、个人权益记录，要求社会保险经办机构提供社会保险咨询等相关服务。
个人依法享受社会保险待遇，有权监督本单位为其缴费情况。
第五十八条 用人单位应当自用工之日起三十日内为其职工向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。未办理社会保险登记的，由社会保险经办机构核定其应当缴纳的社会保险费。
自愿参加社会保险的无雇工的个体工商户、未在用人单位参加社会保险的非全日制从业人员以及其他灵活就业人员，应当向社会保险经办机构申请办理社会保险登记。
国家建立全国统一的个人社会保障号码。个人社会保障号码为公民身份号码。
