历年全国自考高等数学(工本)试题及答案(更新至4月)

高等数学（工本）试题

课程代码：00023

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题号的括号内。错选、多选或未选均无分。

1．下列曲面中，母线平行于y 轴的柱面为（ ）

A ．z =x 2

B ．z = y 2

C ．z = x 2 + y 2

D ．x + y + z =1

2．已知函数h (x,y )=x –y+f (x+y ),且h (0,y )=y 2,则f (x+y )为（ ）

A ．y (y + 1)

B ．y (y - 1)

C ．( x + y )( x + y -1)

D ．( x + y )( x + y +1)

3．下列表达式是某函数u (x,y )的全微分的为（ ）

A ．x 2y d x + xy 2d y

B ．x d x + xy d y

C ．y d x - x d y

D ．y d x + x d y

4．微分方程y x

y d d =x 的阶数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3

5．无穷级数∑∞=2!

1n n 的和为（ ）

A ．e + 1

B ．e - 1

C ．e - 2

D ．e + 2 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6．已知向量a ={ -2, c, 6}与向量b ={ 1, 4, -3}垂直，则常数c=______.

7.函数z =224y x --ln(x 2+y 2-1)的定义域为______.

8．二次积分I =⎰⎰--2101

1d d y x f ( x, y )y ,交换积分次序后I =______.

9．已知y =sin2x +ce x 是微分方程y ''+4y =0的解，则常数c =______.

10.幂级数∑∞=+013

n n n x 的收敛半径R =______. 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

11．将直线⎩

⎨⎧=-++=++0432023z y x z y x 化为参数式和对称式方程. 12.设方程f ( x + y + z, x, x + y )=0确定函数z = z ( x, y ),其中f 为可微函数，求

x z ∂∂和y z ∂∂. 13.求曲面z = 2y + ln y

x 在点（1，1，2）处的切平面方程. 14.求函数z = x 2 - y 2在点（2，3）处，沿从点A （2，3）到点B （3，3+3）的方向l 的

方向导数.

15.计算二重积分()

⎰⎰+D y x x y

d d sin 32，其中积分区域D 是由y = | x |和y =1所围成.

16.计算三重积分I =⎰⎰⎰Ωz y x xy d d d ，其中积分区域Ω是由x 2+y 2

=4及平面z =0，z =2所围的在第一卦限内的区域. 17.计算对弧长的曲线积分I =

⎰L ds y 2，其中L 为圆周x 2+y 2=9的左半圆. 18.计算对坐标的曲线积分I =⎰-++L y y x x x y d )1(d )1(22，其中L 是平面区域

D ：x 2 + y 2 ≤4的正向边界.

19.验证y 1 = e x ,y 2 = x 都是微分方程（1 – x ）y ''+y x '-y = 0的解，并写出该微分方程的通解。

20．求微分方程x y e x

y =+1d d 的通解. 21.设α为任意实数，判断无穷级数∑

∞

=1n 2)sin(n n α的敛散性，若收敛，是绝对收敛还是条件收敛？ 22．设函数f ( x )=x 2cos x 的马克劳林级数为∑∞=0n n n

x a ，求系数a 6.

四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

23．设函数z=ln(x +y )，证明2x x

z ∂∂+2y y z ∂∂=1. 24.求函数f ( x, y )=3+14y +32x -8xy -2y 2-10x 2的极值.

25.将函数f ( x )=322

--x x x 展开为x 的幂级数.

高等数学（工本）试题与答案

课程代码：00023

试题来自，答案由绥化市的王馨磊导师提供

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将基代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.过点（1，-1，2）和点（2，1，-1）的直线方程为（）

A.

211

123

x y z

++-

==

--

B.

112

103

x y z

-+-

==

-

C.

211

123

x y z

--+

==

-

D.

112

103

x y z

+-+

==

-

()()()().3

1211211,232,111,2,2,11C z y x B D B AB B A ，所以选为定点的直线方程为：，以点两个选项；

、，据此可以排除为所求直线的方向向量，则，解：设-+=-=---=-- 2.设函数f(x,y)=x y ，则f y (x,y)为

A.yx y -1

B.x y lnx

C.x y lny

D.x y ()()()().

ln ln ln ,,ln ln ln ln B x x x e x y e y x f y e e x y x f y x y x y y x y x y y ，所以选求偏导得，对解：由=='==== 3.下列曲线积分中，与路径无关的曲线积分为

A.(2)d (2)d L x y x x y y -+-⎰

B.(2)d (2)d L

x y x y x y ++-⎰ C.(2)d (2)d L x y x x y y +++⎰ D.(2)d (2)d L

x y x x y y ++-⎰ 正确。，知选项由：令解：验证选项C x

Q y P y

x Q y x P C ∂∂==∂∂+=+=22,2 4.微分方程d e d x y y x x

=+是 A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程

C.一阶线性齐次微分方程

D.一阶线性非齐次微分方程 ()().1D x Q y x P y e y x

y x 故选一阶线性非齐次方程，所以，题设微分方程是的形式，符合解：由已知，得=+'=-

' 5.已知幂级数()n

11n n a x ∞=+∑在x=-3处收敛，则该级数在x=0处是

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.敛散性不确定

()().

3,303,3-3-0000A x x x x x x x x ，故选因为处绝对收敛，内的一切定理，知该级数在处收敛，所以由阿贝尔因为该级数在处绝对收敛。

）内的一切，处收敛，则在（阿贝尔定理：若级数在解：

-∈=-=≠=

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.已知向量a={2,-1,3},b={1,-1,2},则（-2a ）×(3b)=______. {}{}

()(){}.

6,6,66666

3362432-6,3,336,2,42--=++-=---=⨯-=--=k j i k j i b a b a ，解： 7.已知函数g(x,y)=x+y+f(x -y),且g(x,0)=x 2，则f(x -y)=______.

()()()()()().

2,000,222

22y x xy y x y x y x y x f x x x f x x f x x g +--+=---=--==-++=所以，得解：由8.二次积分()2

1

10

d ,d x I x f x y y -=⎰⎰

交换积分次序后I=______.

()⎰⎰

-=1

10

2

.,y dx y x f dy I 解： （区域B 是以原点为圆心，1为半径的圆在第一象限的圆弧）

9.微分方程 的一个特解y*=______.

.

*12-*x

x x

x

x x x x e y A e Ae

Ae Ae y Ae y Ae y Ae y ===========+-='''=''-='=，故，解得，代入微分方程，得，，则解：令

10.无穷级数1

1

!n n ∞

=∑

的和为______. .

1...!1

...!31!2111!

1...

!

1

...!31!21111,1...,!...!3!21132-=+++++=++++++==+∞

<<-∞++++++=∑∞

=e n n n e x x n x x x x e n n

x

！所以！得令解： 三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

()()的方程。

平面上的投影曲线在为曲线上的投影曲线，即平面在联立即为曲线后，再与两个曲面方程消去；的一般方程为：曲线一般方程。的方程组来表示曲线的常用两个曲面方程组成两个曲面的交线，所以解：空间曲线可以看做L xoy C z y x xoy C z z y x z y x z C ⎩⎨⎧==-=⎩

⎨⎧+=+=.

0,

00.2.2,

2.1222

222

().22222/222/2222222212222,422,xy

xyz zx xyz xyz xy xyz xyz zx xyz F F y z xy xyz yz xyz xyz xy xyz xyz yz xyz F F x z

xyz

xy

xyz xyz

xy F xyz

zx xyz xyz

zx F xyz

yz

xyz xyz

yz F xyz z y x y x F z y z x z y x ---=---=-=∂∂---=---=-=∂∂-=

-

=-=

-

=-=

-

=-++=；

所以；

；；则解：令

()()()()()()()()()().

0453.0485103,5,38,10,6|,2,2,2,,,,,.

4,5,3.134,5,3222222=+-=-+----=-==-+=+=z y x z y x n z y x F F F n y z x z y x F z x y z y x 即处的切平面方程为：所以在点解：处的切平面方程在点求曲线

()()()()()()()()

.

2332

1230221233|.0|)2(|1|)3(|3|)2(|23,22,236cos ,4cos ,6cos 1,1,21,1,221,1,21,1,2221,1,21,1,221,1,2+=⨯+⨯+⨯=∂∂=-=∂∂=-=∂∂=-=∂∂⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=l u l xyz x z

u

xz y y u yz xz x u e l l 的方向导数为所以，同向的单位向量解：与πππ

()[]

()⎰⎰

⎰

⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=-=--==-2

1

2

1

2

1232

2

2

221

.310213

1

442x x dx x x dx x x x ydy xdx xydxdy x

x

D

解：

.3

2

31121sin 2.3

2

111

022020

ππθθθππ

π

=⨯⨯=⨯==

Ω=⨯=⎰⎰⎰

⎰⎰⎰Ω

dr r d d I dxdydz I ：方法：解：方法

()().32203121204

2

234

2

2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-='+-=+=+=⎰

⎰⎰⎰x x dx y x x xyds xyds xyds I x

AB

AB

OA

解：

()()

.10|52242113221

1

-22=⨯=+++=-⎰x dx x x dx x x I 解：

()().

2

1

.11.12C y xy C ydy xy y xy y x y x x y

dy dx dy

dx

y y x +=+=='

=+'=+='⎰为：即所求微分方程的通解，所以，即，也就是由已知，得

的方程，看成含有当作自变量当作未知数，解：把

().

21

01442

121212x e x C C y r r r r +====+-为此所求微分方程的通解是两个相等的实根，因，其根征方程为

解：所给微分方程的特

.132132lim ，知该无穷级数收敛

，由解：该级数是正向级数<=⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

→n

n

n n n

().

!

71

...!7!5!3107

533

-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-=a x x x x x x f 所以解：

四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 23.设函数x y 证明2

2z z x y xy

∂∂+=

∂∂. 右边，证毕。

，所以左边，证明：因为==++=

++

+=

+=∂∂+=

∂∂xy

y

x xy y x y

x y y

x x

y

x y y

z y x x

x

z

1112121

24.求函数f(x,y)=2xy -x 2-4y 2+y 3-1的极值.

()()()()()()().

0,00124,222,21-0,00,0012-8,220,0.

6822.2,20,003820

22222

不是极值，所以，处，在点；处有极大值，所以函数在点

，处，在点，再求出二阶偏导数、，得驻点解：由f AC B C B A f AC B C B A y f f f y y x f x y f yy xy xx y

x >=-==-==<=--==-=+-==-=⎩⎨⎧=+-==-=

25.将函数f(x)=

2

1

x 展开为(x+1)的幂级数. ()()()()()()()()()()()()()).

02-(11...

1...1413121111...1...111111111,

11-1

1

21

3224322<<+==++++++++++=<+++++++++++++=+-=-='

⎪⎭

⎫

⎝⎛∑∞

=--x x n x x f x n x x x x x x x x x x x x x x n n n n

，所以

两端分别求导，得

，

解：

全国20XX 年10月高等教育自学考试

高等数学（工本）试题

课程代码：00023

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.已知函数2

2

(,),(,)f x y x y x y z f x y -+=-=,则

z z x y

∂∂+=∂∂( ) A.2x -2y B.2x +2y C.x+y

D.x -y

2.设函数3

(,)f x y x y =,则点（0，0）是f(x,y)的（ ） A.间断点B.驻点 C.极小值点D.极大值点

3.顶点坐标为（0，0），（0，1），（1，1）的三角形面积可以表示为（ ） A.

x

y

dy dx ⎰

⎰ B. 1

1

x

dx dy ⎰⎰

C.

1

1

x

dx dy ⎰⎰ D. 10

0y dy dx ⎰⎰

4.微分方程2

(1)(1)0xy dx x dy +-+=是（ ） A.可分离变量的微分方程B.齐次微分方程

C.一阶线性齐次微分方程

D.一阶线性非齐次微分方程

5.幂级数1

!n n x n ∞

=∑的和函数为（ ）

A.1x e -

B.x

e C.1x e + D.2x

e +

二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.设向量{1,1,1},{,,}a b c =--=βα,，则•αβ=______________. 7.已知函数1

2cos x

z e

y -=,则

(1,0)

z

x ∂=∂______________.

8.设∑

为上半球面z =,则对面积的曲面积分

dS ∑

=⎰⎰______________.

9.微分方程2x y y y e -'''+-=用待定系数法求特解*y 时，*

y 的形式应设为______________. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为

1()1f x -⎧=⎨

⎩,,0

0x x ππ

-≤≤≤＜ ()S x 是()f x 傅里叶级数的和函数，则()S π-=______________.

三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 11.设平面π：21x y z -+=和直线L:

112

112

x y z ++-==

,求平面π与直线L 的夹角φ. 12.设方程35x

z e xy -+=确定函数(,)z z x y =，求

,.z z

x y

∂∂∂∂ 13.设函数arctan

x

z y

=,求全微分dz . 14.求函数22

(,)(2)x

f x y e x y x =+-在点1

(,0)2处，沿与x 轴正向成45°角的方向l 的方向导数f l

∂∂. 15求曲面222

23481x y z ++=上平行于平面23418x y z ++=的切平面方程. 16.计算二重积分2

2

x

y D

I e dxdy +=⎰⎰,其中积分区域22:9D x y +≤.

17.计算三重积分(2)I x y z dxdydz Ω

=

-+⎰⎰⎰.其中积分区域:

Ω≤1,-1≤y ≤0,0≤z ≤2.

18.计算对弧长的曲线积分22(1).L

x y ds +-⎰其中L 为圆周22 3.x y +=

19.计算对坐标的曲线积分

32,L

ydx xdy -⎰

其中L 是抛物线2y x =上从点（-1，1）到点（1，1）的一段弧.

20.求微分方程

1

dx dy x y

=

-的通解. 21.判断级数

1

21

2(1)

sin

n n n

π

∞

-=-∑是否收敛，如果收敛是条件收敛还是绝对收敛？ 22.已知无穷级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，并且1

n

n k

k S u

==

∑

(1)求112;n n n S S S +-+-

(2)求11lim(2).n n n n S S S +-→∞

+-四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

23.用钢板做一个容积为8cm 3的长方体箱子，试问其长、宽、高各为多少cm 时，可使所使用的钢板最省？ 24.验证在整个axy 平面内2

2

(231)(23)xy x dx x y dy ++++-是某个二元函数(,)u x y 的全微分，并求这样的一个

(,).u x y 25.将函数2

1

()2

f x x x =

--展开成1x -的幂级数.

全国20XX 年4月高等教育自学考试

高等数学（工本）试题

课程代码:00023

一、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.已知a ={-1，1，-2），b =(1，2，3}，则a ×b =( ) A.{-7，-1,3} B.{7，-1，-3} C.{-7,1,3}

D.{7,1，-3）

2.极限22220

0)(3sin lim y x y x y x ++→→( ) A.等于0 B.等于

3

1

C.等于3

D.不存在

3.设∑是球面x 2+y 2+z 2=4的外侧，则对坐标的曲面积分⎰⎰

∑

x 2dxdy =( )

A.-2

B.0

C.2

D.4

4.微分方程

22y

x xy dx dy +=是( ) A.齐次微分方程 B.可分离变量的微分方程 C.一阶线性齐次微分方程

D.一阶线性非齐次微分方程

5.无穷级数∑∞

=02

3n n n

的前三项和S 3=( )

A.-2

B.

419 C.

8

27

D.

8

65 二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 6.已知向量a ={2,2，-1），则与a 反方向的单位向量是_________. 7.设函数f (x ，y )=

y

x y

x +-，则f （1-x ,1+x ）=_________.

8.设积分区域D ：x 2+y 2≤2，则二重积分⎰⎰D

f (x ，y )dxdy 在极坐标中的二次积分为________.

9.微分方程y 〞+y =2e x 的一个特解是y *=_________.

10.设f (x )是周期为2π的函数，f (x )在[-π,π]，上的表达式为f (x )=⎩⎨

⎧∈-∈),0[,)0,[,0ππx e x x S (x )为f (x )的傅里叶级数的和函数，则S (0)=_________.

三、计算题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

11.求过点P （-1,2，-3），并且与直线x =3+t ，y =t ，z =1-t 垂直的平面方程.

12.设函数z =，求全微分dz |(2,1).

13.设函数z=f （cos （xy ），2x-y )，其中f （u ，v ）具有连续偏导数，求x z ∂∂和dy

z ∂. 14.已知方程e xy -2z +x 2-y 2+e z =1确定函数z=z (x,y )，求

x z ∂∂和y z ∂∂. 15.设函数z=e x （x 2+2xy ），求梯度grad f (x ，y ).

16.计算二重积分

⎰⎰D y 22x e -dxdy .其中积分区域D 是由直线y=x ,x =1及x 轴所围成的区域. 17.计算三重积分⎰⎰⎰Ω(1-x 2-y 2)dxdydz ，其中积分区域Ω是由x 2+y 2=a 2，z =0及z =2所围成的区域.

18.计算对弧长的曲线积分

⎰C xds ，其中C 是抛物线y=x 2上由点A (0,0)到点B (2,4)的一段弧. 19.验证对坐标的曲线积分

⎰C (x+y )dx +(x-y )dy 与路径无关， 并计算I=⎰-++)

3,2()1,1()()(dy y x dx y x

20.求微分方程x 2y 〞=2ln x 的通解.

21.判断无穷级数∑∞

=+1)11ln(n n 的敛散性. 22.将函数f (x )=x arctan x 展开为x 的幂级数.

四、综合题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）

23.设函数z =arctan y

x ，证明.02222=∂∂+∂∂y z x z 24.求由曲面z =xy ，x 2+y 2=1及z =0所围在第一卦限的立体的体积.

25.证明无穷级数∑∞

==+1.1)!1(n n n

课程代码：00023

一、单项选择题(本大题共5小题。每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未

选均无分。 1.同向的单位向量是则与向量及点已知点AB B A ),4,1,5()3,1,7(-( ) A.⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-31,32,32 B.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--31,32,32 C.⎭⎬⎫⎩⎨⎧--31,32,32 D.⎭⎬⎫⎩

⎨⎧-31,32,32 2.设积分区域Ω：2222R z y x ≤++,则三重积分⎰⎰⎰Ω

),,(dxdydz z y x f ，在球坐标系中的三次积分为（ ）

A.⎰⎰⎰π

πϕϕθϕθϕθ2000)cos ,sin sin ,sin cos (R dr r r r f d d

B.⎰⎰⎰ππ

ϕϕθ20002sin ),,(R dr r z y x f d d

C.⎰⎰⎰ππ

ϕϕϕθϕθϕθ20002sin )cos ,sin sin ,sin cos (R dr r r r r f d d

D.⎰⎰⎰ππϕϕϕθϕθϕθ20002sin )cos ,sin sin ,sin cos (R

dr r r r r f d d

3.设F （x ,y ）具有连续的偏导数，且xF (x ,y )dx+yF (x,y )dy 是某函数u (x ,y )的全微分，则（

）

A.x F y y F x ∂∂=∂∂

B.x F

x y F

y ∂∂=∂∂ C.y F x F ∂∂=∂∂ D.x F

x y F

y ∂∂-=∂∂

4.微分方程x xe y y y =+'-''65的一个特解应设为y*=（ ）

A.axe x

B.x (ax +b )e x

C.(ax +b )e x

D.x 2(ax +b )e x

5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（ ）

A.()∑∞=+111n n n

B.∑∞

=⎪

⎭⎫

⎝⎛+13101n n C.∑∞

=⎪⎭⎫ ⎝⎛+121101n n n D.

∑∞

=+1132n n n

二、填空题(本大题共5小题，每小题2分，共10分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.点P （0，-1，-1）到平面2x +y -2z +2=0的距离为_____________.

7.设函数z =e x -2y ,而x =t 2,y =sin t ,则dt dz

=_____________.

8.设∑为球面2222a z y x =++,则对面积的曲面积分⎰⎰∑

=dS _____________.

9.微分方程==-''y y 的通解01_____________.

10.设函数f (x )是周期为2π的函数,f (x )的傅里叶级数为

()

∑∞=--+-1212,cos 41π31n n nx n

则傅里叶级数b 3=_____________.

三、计算题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)

11.求过点P (2,-1,3),并且平行与直线⎩

⎨⎧=+=-+13532z x z y x 的直线方程. 12.设函数f (x ,y )=(1+xy )x ,求

.)1 , 1(x f ∂∂ 13.设函数x

y y x z -+=22,求全微分dz . 14.设函数z =f (e xy ,y ),其中f (u ,v )具有一阶连续偏导数,求

y z x z ∂∂∂∂和. 15.求抛物面().5,1,13222处的切平面方程在点-+=y x z

16.计算二重积分

()⎰⎰+D dxdy y x 2,其中积分区域D:.422≤+y x 17.计算三重积分⎰⎰⎰Ω

xdxdydz ,其中积分区域Ω是由1=++z y x 及坐标面所围成区域. 18.计算对弧长的曲线积分()⎰-+C

ds y x 12 其中C 是y =3-x 上点A (0,3)到点B (2,1)的一段.

19.计算对坐标的曲线积分

()()⎰++-C dx y dy x 11,其中C 是摆线t y t t x cos 1,sin -=-=上点A(0,0)到点B (2π,0)的一段弧.

20.求微分方程.2的通解y x e dx

dy -= 21.判断无穷级数()∑∞=-2ln 1n n n 的敛散性.

22.将函数()x x x f +=1ln )(2展开为x 的幂级数.

四、综合题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)

23.求函数()4622,22-+--+=y x y xy x y x f 的极值.

24.计算由曲面,322y x z +=三个坐标面及平面1=+y x 所围立体的体积.

25.证明无穷级数

+++++++++++n

21132112111 收敛,并求其和.

20XX年1月全国自考高等数学（工本）参