分数的初步认识单元分析

青浦区崧文小学   陈双双

1、单元名称：分数的初步认识（一）。

2、研究背景：

基于《绿色指标》为导向的评价体系丰富了学业质量评价的内涵，引导教师开展全面质量观指导下的教学与评价活动，减轻学生课业负担，促进学生全面发展。在实际教学中，教师对怎样依据“绿色指标”导向，整体把握单元教学、提高每一堂课的有效性，还缺少一定的思考和方法。 

本次活动以三年级下数学《分数的初步认识（一）》单元进行研究，对照相应的数学课程标准，结合“绿色指标”中与课堂教学相关要素，通过单元解析，挖掘教材中合理的因素并进行再创造，认真开展课例研究，让学生获取更好的数学体验，得到更好的发展。重点关注以下几个方面：

第一，依据课程标准规定的内容和要求，结合教材内容和学生实际，制定适切的课时教学目标。

第二，根据教学目标设计学习活动。以学生已有的知识与经验为基础，参照课程标准中的教学建议，精心设计与教学目标相匹配、适应学生年龄特征、难度适宜的学习活动。

第三，有效教学进程。在课堂教学过程中，要关注学生的差异，采取有针对性的教学方法，引导全体学生参与学习活动。认真倾听学生发言，根据学生在知识掌握、问题表达、思维水平、合作交流等方面的课堂表现，及时调整教学进程，改进教学策略和方法。

1.可能存在的教学问题

首先，教师在本单元的教材把握上有一定的困难和问题，对于每一节课的教学侧重点不明确，不清晰。

其次，学生在学习分数单元时有一定的困难，相对于整数而言，分数是数的概念的一次扩展，又是学生认识数的概念的一次质的飞跃。所以可能会出现学生学了一个单元之后，头脑中仍然没有分数这一清晰的概念，只会做题而无法从根本上建立分数的概念。

三、本单元的地位和作用：    

“分数的初步认识（一）”是“上海二期”新教材三年级第二学期，第41页至50页上的内容。

关于分数概念，历来为国内外众多数学教育专家所关注，因为分数是自然数系的第一次扩充，并且具有多重含义。 

小学阶段，分数概念的教学重点是用“（p,q都是正整数）”来表示“把一个整体q等分，这样的p份”的含义。这一含义最直观，容易理解。

《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》明确将分数表示“除法运算的结果”的内容放在初中阶段进行教学。所以在初中阶段，对分数的另两层意义也就是分数表示“除法运算的结果” 的内容以及关于比的概念，还有更深入的学习。

在小学阶段，该内容被分为两段进行。

第一学段是学生学习分数的开始，教材安排在三年级下册进行教学，主要内容为“借助实物、图形，直观认识几分之一、几分之几；知道分数各部分名称；初步认识分数单位”。

第二学段进一步认识分数，教材安排在四年级上册进行教学，主要内容为“同分母或同分子分数的大小比较以及分母在20以内的同分母分数加减法。”

《分数的初步认识（一）》是小学阶段关于分数主题的第一部分。学习分数初步认识之前，学生掌握了一些整数知识，已经有了用整体来表示物体个数多少的经验基础，还学习了用除法来求平均分物体数量的计算方法，具有了平均分物体的操作能力，但是，分数的认识，是从整数到分数的第一次对数的概念的扩展。分数概念抽象，学生掌握起来比较困难。

小学阶段的分数概念的教学是以分数的“份数”定义为主的，也即把一个整体或单位进行等分割，表示其中的几份，可以用分数表示，用分母表示平均分的总份数，用分子表示取出的份数，或是要表示的份数。“份数”定义也表示了分数概率的起源。综合考虑《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》的要求和有关分数概念的研究，教材在设计这部分内容时，先通过“分蛋糕”、“分纸带”、“分糖果”的具体操作活动，来学习分数单位（几分之一），然后以单位分量（由单位分数表示的量）为计数单位，利用单位分量的累积来建立真分数数词的意义与序列。也可以这样说，先认识“几分之一”（单位分数）并以“几分之一”为计数单位，通过“几个几分之一”来认识“几分之几”。

通过本单元的学习，学生对数的领域有一个新的认识，发展分数概念，感知部分与整体的相关性，整体的守恒性；同时从圆型、线型、离散三个分数模型对“几分之几”巩固。为今后进一步学习分数的相关知识打好基础。

四、本单元教学内容分析

本单元分数概念的建立有两层意义：整体的几分之一和几分之一个整体。整体的几分之一是分数产生的意义，就是从整体与部分的关系来理解，把一个整体平均分成几份，取了其中的1份或者几份，那就产生了几分之一，或者几分之几。而几分之一个整体是学习数的一个扩展，计数从整数扩展到了分数。几分之一个整体是一个具体的数值，它和单位连在一起，组成了一个数量。如二分之一个蛋糕、三分之二米等等。

为了帮助学生建立分数的概念，本单元借助了三种形态的整体：圆型、线型和离散型整体，它们是学生初步认识分数的比较典型的、标准的模型。这个模型其实有两种形态，分别是连续量模型和离散量模型。圆形和线形都是连续量模型。其中比较特别的是“分酸奶”，一板酸奶是连续量，而一杯一杯分开以后又是离散量，所有它是连续量模型到离散量模型的过渡。

为什么不采用异型呢？圆和线不管平均分成多少份，每一份的形状是一模一样的，帮助学生理解它的大小也一样的。离散量虽然散开，但是每一份也是一样的。那异型呢，比如，长方形。同一个长方形平均分成四份，有不同的分法：第一种分法，每一份都一样，学生知道每一份都是这个长方形的四分之一；第二种分法，其每一份表示的都是四分之一，但是形状却不一样，会无意识中给学生的理解造成干扰。所以为了便于学生理解，在学生初步认识分数的时候，我们采用标准的模型来给他建模，避免异形图形牵制学生注意力，分散其“平均分”的思维角度。

教材设计内容时，先通过“分蛋糕”也就是圆形作为标准模型认识几分之一；“分纸带”也就是线型模型，建立一个分数单位，再加上单位让学生感知分数单位是有大小的：分的份数越多，每一份就越小；“分糖果”也就是离散型，巩固认识分数“几分之一”的概念。然后以几分之一作为计数单位，就是用几个几分之一就是几分之几，利用单位分量的累积来建立真分数数词的意义与序列。也可以这样说，先认识“几分之一”（单位分数）并以“几分之一”为计数单位，通过“几个几分之一”来认识“几分之几”。

五、知识结构图：（见附录1）

六、教学知识技能目标：

1．初步认识整体与部分之间的关系。

2．借助分纸带的活动，初步认识分数单位。

3．借助实物、图形，直观认识几分之一和几分之几。

4．知道几个几分之一就是几分之几。

七、教学重点、难点：

重点：

1、认识几种常用的分数模型。

2、通过“分蛋糕”、“分纸带”、“分糖果”等活动，直观认识几分之一。

3、认识“几分之几”。

难点：

1、体会到整体和部分是相对的

2、在使用分数前先判断是否等分。

3、认识“几分之几”；理解分子、分母相同的分数与1之间的关系。

教学关键：借助实物、图形，直观认识几分之一和几分之几

八、课时计划安排：

本单元安排6个教学课时。

教学过程：

一、情境引入。

1.感知“整体与部分”

提问：把这5只鸭子看做是整体，那么什么是这5只鸭子的一部分？

追问：还可以怎么说 ？ 

小结：把     看做整体，        是        的一部分。

（让学生观察黑色鸭子和白色鸭子都是整体的一部分。通过离散型的鸭子和线型的纸带，让学生感知“整体与部分”。）

2.理解“平均分”

提问： 1个蛋糕，怎么分？

追问：我这样分，可不可以？怎么不可以？ 

操作：把圆形纸片当成蛋糕，折一折、分一分。 

小结：半个蛋糕，一个都不到，在数学上我们用1/2来表示。

（通过最基本的圆形模型展开教学，以蛋糕为例，从4个蛋糕、2个蛋糕的均分，到1个蛋糕的均分，完成从整数到分数知识迁移的过程。在一个蛋糕的均分过程中，通过媒体切一切，学生动手操作折一折，说一说，来充分理解“平均分”。）

二、操作感知，理解新知。

（一）认识1/2

提问：刚才的1/2个蛋糕，是怎么来的呀？

追问：那就是怎么分了？把谁平均分了？

把一个蛋糕平均分成2份，这一份是多少？谁的1/2？这一份呢？ 

小结：把一个蛋糕平均分成2份，每一份都是这个蛋糕的1/2，也就是1/2个蛋糕。  

（通过分蛋糕的情景，理解   的含义，突破   。引入多例证   、  ，再通过表象训练，归纳概括得到完整含义：把一个整体平均分成几份，每一份都是这个整体的几分之一，也就是几分之一个整体。）

教学建议：

概念教学要注重四要素，即名称的引入、例子、属性、定义，其中，举例则以正反例对比为宜，在理解1/2环节中，应该先处理完正例再来解决反例比较好，而1/2与1/4与媒体结合引出平均分时，还是先动手操作，让学生折完再媒体出示分割比较好。其次，在分数的定义中，平均分十分重要，但是又容易被学生忽视，所以教师要规范课堂用语。

几分之一（2）

分纸带

（1）3米长的纸带平均分成3段，每一段长（  ）米？

（2）2米长的纸带平均分成2段，每一段长（  ）米？

（3）1米长的纸带平均分成3段，每一段长（  ）米？

（根据平均分，解决整数除法的应用题。引入例题，通过分纸带，每一段1米不到了，所以不能用整数来表示，激发学生使用分数，让学生感知在不满1米时，分纸带也可以用分数表示，也道出1/3米的由来。） 

二、探究新知

（一）认识几分之一米

提问：把什么看作一个整体？谁看懂了？

指出：1米的1/3就是1/3米。

小结：1米长的纸带平均分成3段，每一段的长度是1米的1/3， 也就是1/3米。

（学生在说一说中，建立整体和部分的关系。在线形模型中，通过观察与分析，理解1/3米的含义，也就是分数的意义中“数的意义”：1米的几分之一就是几分之一米。 ）

（二） 理解几分之一米

涂色部分的长度是     米。 

提问：你发现了什么 

小结：对于相同的整体，平均分的份数越多，每一份就越小；平均分的份数越少，每一份就越大。 

（通过看图说一说，填一填；动手操作，分一分，涂一涂；表象操作，看着对折1米长的纸带的过程，想一想等活动，让学生在操作中理解几分之一米的含义。最后，在操作的基础上，引导学生观察、思考，从而得出规律。）  

（三）分数单位的大小比较

1.想一想：米、米、米和米哪一段最长？哪一段最短？

2.排一排：将米、米、米和米从长到短排列。

（联系已经分好的纸带，由学生根据得出的规律来比较大小。）

教学建议：

在圆型模型基础上建立几分之一概念后，线型模型中几分之一的概念是一个深化，是对几分之一的进一步认识。因此，教师要安排学生经历概念形成的过程，在观察、动手操作、思考的活动中逐步养成主动探索的习惯，而不是枯燥的用传授、练习来灌输概念。

几分之一（3）

一、复习引入 

提问：一盒酸奶，如果平均分给6个同学，每人能分到多少？ 

小结：六分之一既可以表示这一部分占整体的六分之一，也可以表示具体的数量六分之一盒酸奶。

（基于学生已经学习了连续量几分之一，运用具体的实例一盒酸奶复习连续量的几分之一，并让学生感知连续量的几分之一这个分数既可以表示具体的数量又可以表示这一部分占整体的几分之一。） 

二、探究

（一）理解“离散的整体”

提问：一盒里有6瓶酸奶，平均分给6个小朋友，每人分到多少？

追问：把什么看作一个整体？平均分成几份？每人分到这个整体的几分之一？

小结：一盒酸奶可以看作一个整体，6瓶酸奶也可以把它看作一个整体，平均分成6份，每一份都是这一个整体的 。

多例证：

提问：12颗糖果，平均分给3个同学，把整体平均分成几份？ 

追问：平均分给4个同学呢？

小结：和一个蛋糕、一条纸带一样，6瓶酸奶、12颗糖也可以看作一个整体。

（通过动态的演示，将酸奶盒子拆掉，呈现了分散的6瓶酸奶，让学生初步感知离散量6瓶酸奶也可以作为一个整体。再通过多例证：12颗糖平均分成3份，平均分成4份，让学生明确离散量像连续量一样可以作为一个整体，并初步认识离散量情况下的几分之一。）

（二）理解“几分之一”

1.每份的个数相同，份数不同

追问：看起来小胖每次分到的一样多，为什么它占整体的几分之一不一样呢？

小结：平均分的份数不同，这一份占这个整体的几分之一也不同。

（通过媒体演示问小胖分到的这一份占这个整体的几分之一？让学生去说一说他们的想法，理解几分之一的含义，并通过不断追问让学生明确平均分的份数不同，这一份占这个整体的几分之一也不同。）

2.每份的个数不同，份数相同

追问：数量在不断增加，为什么都是 呢？

小结：平均分的份数相同，这一份占这个整体的几分之一也相同。

（将一个整体平均分成4份，通过不断增加包子的数量，让学生说一说这一份占整体的几分之一。通过观察比较，数量在不断增加，为什么都是1/4？让学生明白平均分的份数相同，这一份占这个整体的几分之一也相同。）

3.理解“几分之一”与“份数”的关系

（1）平均分成4份，每份占整体的几分之一？

（2）平均分成6份，每份占整体的几分之一？

追问：几分之一与什么有关？

小结：几分之一只与平均分的份数有关，要看某一部分是整体的几分之一，只要看将整体平均分成了几份。

（出示越来越多的包子，直到数也数不清的包子。通过经验的累加，学生会发现不管有多少包子，只要是平均分成几份，每一份就是这个整体的几分之一，理解“几分之一”与“份数”的关系——几分之一只与平均分的份数有关。）

教学建议：

本节课的内容是在学生初步认识分数，学习过整体为连续量的几分之一的基础上进一步学习，认识离散量作为整体时的几分之一的情况，这是学生最难理解的模型。因此，教师在这节课中最重要的就是利用媒体这一功能，形象的将连续型的量转换成离散型的量，将学生已有分数概念“几分之一的含义”迁移到离散量的情况中。把“几分之一”的概念统一到：把一件或多件物体看作一个整体，平均分成几份，每一份都是整体的几分之一。

几分之几（1）

分纸带

提问：一根1米长的纸带，平均分成3段，这样的1段长多少米？你是怎么想的？ 

追问：这一段是米，那这一段是多少米呢？这一段呢？ 

小结：把一个整体平均分成几份，每一份就是这个整体的几分之一。 

（通过分纸带，对几分之一进行复习，让学生养成旧知迁移的意识。） 

二、探究新知

（一）几分之几的意义  

1．认识2/3

提问：现在他需要这样的2段，猜一猜：这样的2段长多少米？

追问：什么是2/3米呢？

小结：一米长的纸带平均分成3段，取其中的2段，就是1米的2/3, 就是2/3米。 

（几分之几是第一次出现，所以在此过程中说明1米的三分之二记作2/3米，从而出示三分之二的数学写法。再让学生一起说一说2/3米是怎么来的，对2/3意义的有初步理解。） 

（二）几分之几与几分之一的关系

1.介绍分数单位。 

提问：今天学习的分数和之前学得有什么不同？ 

小结：我们把表示一份的分数几分之一叫分数单位。 

（通过对比今天学的分数和之前学的分数的差别，揭示之前学的几分之一都是分数单位，揭示分数单位的概念。） 

2.分数的组成。

提问：2/3里面有几个1/3 ？

追问：2/5、3/5、4/5的分数单位是什么？它们是怎么组成的？

小结：每个分数都是由几个单位分数组成的。 

（通过提问分数单位、模仿几分之几是由几个几分之一组成，几个几分之一就是几分之几的来说说这几个分数，进一步理解几分之几和几分之一的关系。）  

（三）分数各部分名称

1. 以4/5为例认识分数线、分母和分子。

2. 口答：2/5的分子、分母是多少？ 

教学建议：

本节课的学生需建立分数单位的概念，这个概念比较抽象。因此，在课堂中，教师设计了比较两类不同的分数来揭示，并且补充“像这样表示取了一份的分数几分之一就叫做分数单位“，紧接着跟进练习来巩固。在突破此内容后，学生才能更进一步理解几分之一和几分之几的关系。

几分之几（2）

提问：把一个蛋糕份成同样大小的4份，这样的3份是这个蛋糕的多少？ 

追问：分子、分母分别是几？分别表示什么意思？

小结：把一个整体平均分成4份，有这样的3份就是这个整体的3/4。

提问：这样的3份是多少个蛋糕？

追问：每份是多少个蛋糕？有这样的几份？

小结：把一个蛋糕平均分4份，一份是1/4个蛋糕，3份就是3/4个蛋糕。

（借助具体的实例分蛋糕，让学生运用几分之几来表示整体与部分之间的关系；感知分数可以表示数量的多少。） 

（二）一板酸奶中理解几分之几的含义

提问：他们一共喝了这板酸奶的多少？

小结：把一个整体平均分成6份，有这样的4份就是整体的4/6。

提问：他们一共喝了多少板酸奶？

追问：每杯是多少板酸奶？有这样的几杯？

小结：一板酸奶平均分成6杯，1杯是板酸奶1/6，4杯就是4/6板酸奶。

（借助具体的实例喝酸奶，引导学生运用分数表示整体与部分之间的关系；通过让学生求一共喝了多少板酸奶，让学生利用分数单位来解决这一问题。）

巩固练习

理解分子和分母表示的含义。

1.用分数表示下面各图中的涂色部分。

小结：分母表示一个整体被平均分的份数。

2.按分数来给下面各图涂色。

小结：分子表示有这样的几份。

3.圈出或涂出整体的

（圈出整体的几分之几时，需要引导学生一份一份圈，这样可以清楚的看出一份是多少，圈出了几份。如果一起圈则会造成不必要的麻烦。 ） 

小结：在分数中分母表示一个整体被平均分的份数，分子表示有这样的几份。

教学建议：

本节课，是加深对几分之几含义的认识。因此，教师需在借助实物、图形的基础上，归纳出把一个整体平均分成几份，有这样的几份就是整体的几分之几；一份是几分之一，几份就是几分之几——这分数的两层含义。

几分之几（3）

（一）分蛋糕 

提问：谁看懂了？

追问：小巧和小亚分到几个蛋糕？小巧、小亚和小丁丁分到几个蛋糕？

      他们四个人一共分到几个蛋糕？

小结：4/4个蛋糕也就是一整个蛋糕。

（二）拼纸带

（学生操作）你能用它们拼出不同长度的纸带吗？ 

提问：你需要用几个1/5米？你拼出的长度为？

小结：我们发现5/5米的纸带和1米的纸带一样长。

（三）串糖葫芦 

（教师演示）

串一颗问：我完成一串了吗？ 

串两颗问：串了两颗山楂，完成了几串？

完成串冰糖葫芦的步骤图。

串七颗问：现在完成一串冰糖葫芦了吗？为什么？ 

小结：7/7 串也就是1串。

（通过分蛋糕、拼纸带、串糖葫芦这些实例，让学生在动手操作中，初步感知分割成的所有部分合起来依然是整体。） 

（四）分子、分母相同的分数与1之间的关系。

提问：请你观察这些分数，你发现了什么？ 

追问：分子和分母一样说明什么？

小结：当分数的分母和分子相等时，这个分数所代表的量与1所代表的量是相等的。

举例：你还能想到什么分数也是等于1呢，它表示什么含义？

（通过观察、举例、说一说等过程中，让学生理解分子、分母相同的分数代表的量与1代表的量是相等的。）

教学建议：

学生在此之前已经认识了分数中的几分之一和几分之几的相关知识，本节课是从学生对分数的认识从整体到几分之一，从几分之一到几分之几，又从几分之几回到一个整体，也就是分子和分母相等时，分数表示一个整体。鉴于学生的认知规律，教师将表象训练中圆形模型作为第一个例证，然后到线性模型，最后是离散模型，最后在三个例证后让学生自主发现规律。

八、单元检测题：

一、填空题。

（1）把一个大饼平均分成同样大小的6份，每一份都是这个大饼的（     ），是（     ）个大饼。

（2）把一条1米长的纸带平均分成同样长的5段，每一段的长度是（     ）米，这样的3段的长度是（      ）米。

（3）一盒铅笔有10支，每支铅笔都是这盒铅笔的（      ），其中的3支铅笔是这盒铅笔的（      ）。

（4）的分子是（     ），分母是（      ），读作（      ）。

（5）7个是（      ）；5个是（     ）；9个是（     ）；4个是（      ）。

（6）里有（     ）个；里有（     ）个；里有（    ）个；里有（    ）个。

（7）6个（    ）是；4个（    ）是；5个（     ）是；9个（    ）是1。

（8）（    ）里面有7个；（    ）里面有10个；（    ）里面有8个；（     ）里面有3个。

二、判断题。

（1）把 1 个橙子分成 4 份，每一份是它的。               （     ）

（2）一盒巧克力共有18块，这盒巧克力的就是6块巧克力。  （     ）

（3）读作“五分之七”。                                  （     ）

（4）因为7>6，所以。                                （     ）

（5）把1米长的纸带平均分成5份，这样的4段长为米。     （     ）

（6）3个和8个是相等的。                              （     ）

三、用分数表示下列各图中的涂色部分。

四、按所给的分数涂一涂、圈一圈。

五、看图写分数，比大小。

        ○                                 ○ 

六、填上“＞”、“＜”或“＝”。

 ○          ○ 1          ○ 1           ○ 

七、应用。

1、已知，那么（   ）中可以填几？

2、妈妈把一条面包平均分成4份，自己吃了1份，小胖吃了2份，还剩下几分之几条面包。

3、把一个比萨平均分成6块，小明吃了其中的2份，是几个比萨？还剩下几个比萨？。

4、一条绳子剪去1米，还剩下9米。

（1）剪去的占这条绳子的几分之几？（2）剩下的占这条绳子的几分之几？

5、一盒巧克力有12颗，小胖分到5颗，小亚分到这盒巧克力的，谁分到的巧克力多？

附录1：