平面直角坐标系知识点、题型总结讲义

1、在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系；

2、坐标平面上的任意一点P的坐标，都和惟一的一对 有序实数对（）

一一对应；其中，为横坐标，为纵坐标坐标；

3、轴上的点，纵坐标等于0；轴上的点，横坐标等于0；

   坐标轴上的点不属于任何象限；

4、四个象限的点的坐标具有如下特征：

（2）点P（）所在的数轴      横、纵坐标、中必有一数为零；

5、

在平面直角坐标系中，已知点P，则

（1）  点P到轴的距离为； （2）点P到轴的距离为；

（3）  点P到原点O的距离为PO＝ 

6、平行直线上的点的坐标特征：

a)在与轴平行的直线上， 所有点的纵坐标相等；

B

                          点A、B的纵坐标都等于； 

X

b)Y

X

在与轴平行的直线上，所有点的横坐标相等；

C

D

                          点C、D的横坐标都等于；

7、对称点的坐标特征：

a)点P关于轴的对称点为， 即横坐标不变，纵坐标互为相反数；

b)点P关于轴的对称点为， 即纵坐标不变，横坐标互为相反数；

c)点P关于原点的对称点为，即横、纵坐标都互为相反数；

     关于x轴对称                关于y轴对称                  关于原点对称

8、两条坐标轴夹角平分线上的点的坐标的特征：

a)若点P（）在第一、三象限的角平分线上，则，即横、纵坐标相等；

b)若点P（）在第二、四象限的角平分线上，则，即横、纵坐标互为相反数；

       在第一、三象限的角平分线上              在第二、四象限的角平分线上

基本练习：练习1：在平面直角坐标系中，已知点P（）在轴上，则P点坐标为           练习2：在平面直角坐标系中，点P（）一定在       象限；

练习3：已知点P（在轴的负半轴上，则P点坐标为         ；

练习4：已知轴上一点A（3，0），轴上一点B（0，），且AB=5，则的值为      ；

练习5：点M（2，－3）关于轴的对称点N的坐标为        ； 关于轴的对称点P

    的坐标为        ；关于原点的对称点Q的坐标为         。

练习6：已知点P和点A关于轴对称，那么=       ；

练习7：如果点M、N的坐标分别是（，3）和（，），则直线MN与轴的位置关系是         ；

练习8：已知线段AB=3，AB∥轴，若点A的坐标为（，2），则B点的坐标为        ；

练习9：已知点A（在第三象限的角平分线上，则    ；

练习10：已知B（在第二象限的角平分线上，则    ；

六、利用平面直角坐标系绘制区域内一些点分布情况平面图过程如下：

•建立坐标系，选择一个适当的参照点为原点，确定x轴、y轴的正方向；

•根据具体问题确定适当的比例尺，在坐标轴上标出单位长度；

•在坐标平面内画出这些点，写出各点的坐标和各个地点的名称。

七、用坐标表示平移：见下图

二、经典例题

知识一、坐标系的理解

例1、平面内点的坐标是（    ）

       A  一个点   B   一个图形    C  一个数     D 一个有序数对

学生自测

1．在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据；

在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据．

2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（    ）

       A   原点O不在任何象限内              B   原点O的坐标是0

       C   原点O既在X轴上也在Y轴上    D   原点O在坐标平面内

知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标

点在x轴上，坐标为（x,0）在x轴的负半轴上时，x<0, 在x轴的正半轴上时，x>0

点在y轴上，坐标为（0,y）在y轴的负半轴上时，y<0, 在y轴的正半轴上时，y>0

第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同(即在y=x直线上)；坐标点（x，y）xy>0

第二、四象限角平分线上的点的横纵坐标相反(即在y= -x直线上)；坐标点（x，y）xy<0

例1  点P在轴上对应的实数是，则点P的坐标是             ，若点Q在轴上      对应的实数是，则点Q的坐标是            ， 

例2  点P（a-1，2a-9）在x轴负半轴上，则P点坐标是　　　　。

学生自测

1、点P(m+2,m-1)在y轴上,则点P的坐标是      .

2、已知点A（m，-2），点B（3，m-1），且直线AB∥x轴，则m的值为     。

3、 已知:A(1,2),B(x,y),AB∥x轴,且B到y轴距离为2,则点B的坐标是                    .

4．平行于x轴的直线上的点的纵坐标一定（　　）

A．大于0　　　B．小于0　　　C．相等　　　D．互为相反数

 (3)若点(a ,2)在第二象限,且在两坐标轴的夹角平分线上,则a=       .

(3)已知点P（x2-3，1）在一、三象限夹角平分线上，则x=          .

5．过点A（2，-3）且垂直于y轴的直线交y轴于点B，则点B坐标为（  ）．

  A．（0，2）  B．（2，0）C．（0，-3）D．（-3，0）

6．如果直线AB平行于y轴，则点A，B的坐标之间的关系是（  ）．

 A．横坐标相等  B．纵坐标相等C．横坐标的绝对值相等  D．纵坐标的绝对值相等

知识点三：点符号特征。

点在第一象限时，横、纵坐标都为    ，点在第二象限时，横坐标为    ，纵坐标为    ，点有第三象限时，横、纵坐标都为    ，点在第四象限时，横坐标为    ，纵坐标为    ；y轴上的点的横坐标为    ，x轴上的点的纵坐标为    。

例1  .如果a－b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在(    )

A、第一象限    B、第二象限     C、第三象限,    D、第四象限.

例2、如果＜0，那么点P（x，y）在（    ）

 (A) 第二象限  (B) 第四象限   (C) 第四象限或第二象限   (D) 第一象限或第三象限  

学生自测

1.点Ｐ的坐标是（２，－３），则点Ｐ在第         象限．

2、点P（x，y）在第四象限，且|x|=3，|y|=2，则P点的坐标是　　  　　。

3．点 A在第二象限 ，它到轴 、轴的距离分别是  、，则坐标是            ；

4. 若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹥０，则点Ｐ在第          象限；

　若点Ｐ（x，y）的坐标满足xy﹤０，且在x轴上方，则点Ｐ在第        象限．

若点P（a，b）在第三象限，则点P＇（－a，－b＋1）在第             象限；

5．若点P(,)在第二象限，则下列关系正确的是                       （    ）

A.    B.     C.      D. 

6．点(，)不可能在                                                  （    ）

A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　 　D.第四象限

7．已知点P(,)在第三象限，则的取值范围是                    （    ）

A .  B.3≤≤5     C.或   D.≥5或≤3 (02包头市)

8．（本小题12分）设点P的坐标（x，y），根据下列条件判定点P在坐标平面内的位置：

（1）；（2）；（3）．

(2)点A(1-)在第        象限.

(3)横坐标为负,纵坐标为零的点在(    )

 (A)第一象限   (B)第二象限  (C)X轴的负半轴     (D)Y轴的负半轴

（4)如果a-b＜0,且ab＜0,那么点(a，b)在(    )

(A)第一象限,     (B)第二象限      (C)第三象限,    (D)第四象限.

(5)已知点A（m，n）在第四象限，那么点B（n，m）在第     象限

(6)若点P(3a-9,1-a)是第三象限的整数点(横、纵坐标都是整数)，那么a=         

知识四：求一些特殊图形，在平面直角坐标系中的点的坐标。

过点作x轴的    线，垂足所代表的    是这点的横坐标；过点作y轴的垂线，垂足所代表的实数，是这点的      。点的横坐标写在小括号里第一个位置，纵坐标写小括号里的第     个位置，中间用     隔开。

例1、X轴上的点P到Y轴的距离为2.5,则点Ｐ的坐标为（　）

     Ａ（2.5,0)    　B (-2.5,0)    　C(0,2.5)      D(2.5,0)或(-2.5,0)

例2、已知三点A（0，4），B（—3，0），C（3，0），现以A、B、C为顶点画平行四边形，请根据A、B、C三点的坐标，写出第四个顶点D的坐标。

y

                                                     x

学生自测

1、点Ａ（２，３）到x轴的距离为　　　；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为　　　；点C到x轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是　　　　　。

2.若点Ａ的坐标是（－３，５），则它到x轴的距离是            ，到y轴的距离是           ．

3.点Ｐ到x轴、y轴的距离分别是２、１，则点Ｐ的坐标可能为                                                      。

4．已知点M到x轴的距离为3，到y轴的距离为2，则M点的坐标为（  ）．

A．（3，2）  B．（-3，-2）  C．（3，-2）  D．（2，3），（2，-3），（-2，3），（-2，-3）

5．若点P（，）到轴的距离是，到轴的距离是，则这样的点P有     （    ）

Ａ.１个　　 Ｂ.２个　　  Ｃ.３个　　　Ｄ.４个

6.已知直角三角形ABC的顶点A(2 ，0)，B(2 ，3).A是直角顶点,斜边长为5，求顶点C的坐标              .                         

7. 直角坐标系中，正三角形的一个顶点的坐标是（0，），另两个顶点B、C都在x轴上，求B，C的坐标.

8．对于边长为6的正△ABC，建立适当的直角坐标系，并写出各个顶点的坐标.

9．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．

10.直角坐标系中，一长方形的宽与长分别是6，8，对角线的交点在原点，两组对边分别与坐标轴平行，求它各顶点的坐标.

11．在平面直角坐标系中，A，B，C三点的坐标分别为（0，0），（0，-5），（-2，-2），以这三点为平行四边形的三个顶点，则第四个顶点不可能在第_______象限．

12．（本小题11分）在图5的平面直角坐标系中，请完成下列各题：

（1）写出图中A，B，C，D各点的坐标；

（2）描出E（1，0），F（，3），G（，0），H（，）；

（3）顺次连接A，B，C，D各点，再顺次连接E，F，G，H，围成的两个封闭图形分别是什么图形？

13．如图，正方形ABCD以（0，0）为中心，边长为4，求各顶点的坐标．

14．已知等边△ABC的两个顶点坐标为A（-4，0），B（2，0），求：（1）点C的坐标；（2）△ABC的面积

知识点五：对称点的坐标特征。

关于x对称的点，横坐标不    ，纵坐标互为    ；关于y轴对称的点，    坐标不变，    坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标    ，纵坐标    。

例1.已知A(－3，5)，则该点关于x轴对称的点的坐标为_________；关于y轴对的点的坐标为____________；关于原点对称的点的坐标为___________；关于直线x=2对称的点的坐标为____________。

例2.将三角形ABC的各顶点的横坐标都乘以，则所得三角形与三角形ABC的关系（　　）

A．关于x轴对称　　　　　B．关于y轴对称

C．关于原点对称　　　　　D．将三角形ABC向左平移了一个单位

学生自测1在第一象限到x轴距离为4，到y轴距离为7的点的坐标是______________；在第四象限到x轴距离为5，到y轴距离为2的点的坐标是________________；

3.点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是         .关于原点对称的点坐标是         。

4.若点A(m,-2),B(1,n)关于原点对称,则m=     ,n=        .

5．已知：点P的坐标是(,)，且点P关于轴对称的点的坐标是(,)，则；

6．点P(，)关于轴的对称点的坐标是            ，关于轴的对称点的坐标是             ，关于原点的对称点的坐标是             ；

7．若关于原点对称 ，则；

8．已知，则点（，）在                           ；

9．直角坐标系中，将某一图形的各顶点的横坐标都乘以，纵坐标保持不变，得到的图形与原图形关于________轴对称；将某一图形的各顶点的纵坐标都乘以，横坐标保持不变，得到的图形与原图形关于________轴对称．

10．点A(，)关于轴对称的点的坐标是                                 （    ）

A.(，)    B. (,)    C . (,)      D. (,)

11．点P(，)关于原点的对称点的坐标是                                  （    ）

A.(，)     B     (，)   C     (，)      D.    (，)

12．在直角坐标系中，点P(,)关于轴对称的点P1的坐标是                （    ）

A　  (，)　   B. (，)　  C. (,)　　D. (，)

若+（b+2）2=0，则点M（a，b）关于y轴的对称点的坐标为_______．

13．若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则此点一定在（　　）

A．原点    B．x轴上      C．两坐标轴第一、三象限夹角的平分线上  

 D．两坐标轴第二、四象限夹角的平分线上

知识点六：利用直角坐标系描述实际点的位置。需要根据具体情况建立适当的平面直角坐标系，找出对应点的坐标。

学生自测：

10.课间操时，小华、小军、小刚的位置如下图左，小华对小刚说，如果我的位置用(0，0)表示，小军的位置用(2，1)表示，那么你的位置可以表示成(       )     

A．(5，4)     B．(4，5)   C．(3，4)     D．(4，3)

11.(2008双柏县)  如上右图，小明从点O出发，先向西走40米，再向南走30米到达点M，如果点M的位置用(－40，－30)表示，那么(10，20)表示的位置是(    )

A、点A     B、点B    C、点C     D、点D

知识点七：平移、旋转的坐标特点。

图形向左平移m个单位，纵坐标不变，横坐标      m个单位；图形向右平移m个单位，纵坐标不变，横坐标      m个单位；图形向上平移个单位，横坐标     ，纵坐标增加n个单位；向下平移n个单位，      不变，      减小n个单位。旋转的情形，同学们自己归纳一下。

例1.三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标分别为A(2，－1)、B(1，－3)、C(4，－3.5)．

把三角形A1B1C1向右平移4个单位，再向下平移3个单位，恰好得到三角形ABC，试写出三角形A1B1C1三个顶点的坐标，并在直角坐标系中描出这些点；在平面直角坐标系中，将点M（1，0）向右平移3个单位，得到点，则点的坐标为________．

学生自测

2．（本小题10分）矩形ABCD在坐标系中的位置如图3所示，若矩形的边长AB为1，AD为2，则点A，B，C，D的坐标依次为________；把矩形向右平移3个单位，得矩形，的坐标为________．

3．小华若将平面直角坐标系中一只猫的图案向右平移了3个单位长度，而猫的形状，大小都不变，则她将图案上的各点坐标________．

10．．平面直角坐标系中一条线段的两端点坐标分别为（2，1），（4，1），若将此线段向右平移1个单位长度， 则变化后的线段的两个端点的坐标分别为_____；若将此线段的两个端点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，则所得的线段与原线段相比_______；若将此线段的两个端点的横坐标不变，纵坐标分别加上1，则所得的线段与原线段相比_______；若横坐标不变，纵坐标分别减去3，则所得的线段与原线段相比_________。

19.线段CD是由线段AB平移得到的，点A（-1，3）的对应点C（2，5），则B（-3，-2）的对应点D的坐标为          。

4．在平面直角坐标系中，点P（2，1）向左平移3个单位得到的的点在（　　）

A．第一象限　　　B．第二象限　　　C．第三象限　　　D．第四象限

6．将三角形ABC的各顶点的横坐标不变，纵坐标分别减去3，连结所得三点组成的三角形是由三角形ABC（　　）

A．向左平移3个单位　　　B．向右平移3个单位

C．向上平移3个单位　　　D．向下平移3个单位

37．如图，已知直角坐标系中的点A，点B的坐标分别为A（2，4），B（4，0），且P为AB的中点，若将线段AB向右平移3个单位后，与点P对应的点为Q，则点Q的坐标为   （    ）

A.（3，2） 　  B.（6，2）      C.（6，4）    D.（3，5）

二次根式的运算

    一、知识点

1、二次根式有意义的条件：    2、二次根式的双重非负性：

3、二次根式的平方公式：    4、二次根式的开方公式：

5、二次根式的乘法公式：6、二次根式的除法公式：

    7、最简二次根式：8、同类二次根式：

9、二次根式的加法运算步骤：    （1）先 （2）再

10、二次根式的乘、除法运算步骤：（1）（2）再

11、二次根式的混合运算：先乘方，再乘除，最后算加减；如果有括号，就先算括号里面的。

二、练习  填空

1、计算： 

2、化简： =        ， =         。

3、二次根式有意义时的的范围是＿＿＿＿＿＿。

4、若，则x的范围是               。

 5、一个等腰直角三角形的腰长为4，则这个等腰三角形的面积为            。

 6、代数式的最大值是__________ 。

7．若+有意义，则=_______．    

8．若是一个正整数，则正整数m的最小值是________．

9．分母有理化:(1)=_________;(2) =________;(3) =______.

第三、选择题 

 1、下列各式中不是二次根式的是      （　　）

（   A）　　       （B）        （C）　　   （D）

2、下列二次根式中与是同类二次根式的是(     )

（A）      （B）     （C）     （D） 

3、化简的结果是(     )

   (A) –2        (B) 2          (C) ±2        (D) 4

4、使代数式8有意义的的范围是（　　）

　（A）　　　　（B）　　　　（C）　　　（D）不存在

5、若成立。则x的取值范围为：（    ） 

（A ）x≥2    （ B）x≤3     （C）2≤x≤3      （D） 2＜x＜3

6、若，则的值为： （    ） 

（A ）0     （B）1     （C） -1      （D） 2 

6．下列各式中、、、、、，二次根式的个数是（  ）． A．4     B．3     C．2     D．1

7．若直角三角形两条直角边的边长分别为cm和cm，那么此直角三角形斜边长是（  ）A．3cm   B．3cm   C．9cm   D．27cm

8．计算的结果是（  ）A．    B．   C．   D．

计算题

1、      2、 

3、           4、

5、                 6、

7、3（2－4＋3）　　8、（7＋2）2　　　

解答题1、当x是多少时，+在实数范围内有意义？

2、已知y=++5，求的值．