2020-2021学年广东省深圳高级中学高一(上)期末数学试卷

试题数：22，总分：150

1.（单选题，5分）设全集U=R，A={x|x2-2x＜0}，B={x|1-x≥0}，则A∩B=（　　）

A.{x|x≥1}

B.{x|x≤1}

C.{x|0＜x≤1}

D.{x|1≤x＜2}

2.（单选题，5分）已知角α的终边过点P（sin1，cos1），则α是第（　　）象限角．

A.一

B.二

C.三

D.四

3.（单选题，5分）“  ”是“  ”的（　　）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

4.（单选题，5分）已知sinαcosα=-  ，  ，则cosα-sinα=（　　）

A.  

B.  

C.  

D.  

5.（单选题，5分）已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2-5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（　　）

A.  

B.[2，6）

C.  

D.（0，6）

6.（单选题，5分）素数也叫质数，部分素数可写成“2n-1”的形式（n是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n-1”形式（n是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是P=2825933-1，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为P=231-1，第9个梅森素数为Q=261-1，则  约等于（　　）（参考：在Q，P很大的条件下  ；lg2≈0.3）

A.7

B.8

C.9

D.10

7.（单选题，5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+  ）在区间（0，  ）上单调递增，则ω的最大值为（　　）

A.  

B.1

C.2

D.4

8.（单选题，5分）对于函数y=f（x），若存在x0，使f（x0）=-f（-x0），则称点（x0，f（x0））与点（-x0，-f（-x0））是函数f（x）的一对“隐对称点”．若函数  的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（　　）

A.  

B.  

C.  

D.  

9.（多选题，5分）下列选项中，与sin（-  ）的值相等的是（　　）

A.2sin15°sin75°

B.cos18°cos42°-sin18°sin42°

C.2cos215°-1

D.  

10.（多选题，5分）关于函数f（x）=sin2x-cos2x，下列命题中为真命题的是（　　）

A.函数y=f（x）的周期为π

B.直线  是y=f（x）的一条对称轴

C.点  是y=f（x）的图象的一个对称中心

D.y=f（x）的最大值是  

11.（多选题，5分）下列说法正确的是（　　）

A.若x，y＞0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4

B.若  ，则函数  的最大值为-1

C.若x，y＞0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1

D.函数  的最小值为9

12.（多选题，5分）已知函数f（x）=2cos22x-2，下列命题中的真命题有（　　）

A.∃β∈R，f（x+β）为奇函数

B.∃α∈（0，  ），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立

C.∀x1，x2∈R，若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为  

D.∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=kπ（k∈Z）

13.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2-x）定义域为___ ．

14.（填空题，5分）将函数y=sinx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移  个单位，最后所得到的图象对应的解析式是___ ．

15.（填空题，5分）  的单调区间是___ ．

16.（填空题，5分）已知函数  ．若存在正实数k，使得方程  有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是___ ．

17.（问答题，10分）已知  ．

（1）求tanθ的值；

（2）求  的值．

18.（问答题，12分）已知函数  是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）判断f（x）的单调性（不用证明）；

（3）求不等式f（x2-x）+f（-2）＜0的解集．

19.（问答题，12分）已知  ，且  ．

 ① 求sinα和cosα；

 ② 求β的值．

20.（问答题，12分）已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0≤v≤3）的以下数据：

Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=klogav+b．

（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．

21.（问答题，12分）如图，在半径为  ，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y．

（1）设PN=x，将y表示成x的函数关系式；

（2）设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；并求出y的最大值．

22.（问答题，12分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|x+  -5|．

（1）求函数f（x）的零点；

（2）若方程f（x）=m（m＞0）有四个不等实根x1，x2，x3，x4，证明x1•x2•x3•x4=16；

（3）在区间[1，4]上是否存在实数a，b（a＜b），使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的值域为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

2020-2021学年广东省深圳高级中学高一（上）期末数学试卷

参与试题解析

试题数：22，总分：150

1.（单选题，5分）设全集U=R，A={x|x2-2x＜0}，B={x|1-x≥0}，则A∩B=（　　）

A.{x|x≥1}

B.{x|x≤1}

C.{x|0＜x≤1}

D.{x|1≤x＜2}

【正确答案】：C

【解析】：可求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．

【解答】：解：∵A={x|0＜x＜2}，B={x|x≤1}，

∴A∩B={x|0＜x≤1}．

故选：C．

【点评】：本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查了计算能力，属于基础题．

2.（单选题，5分）已知角α的终边过点P（sin1，cos1），则α是第（　　）象限角．

A.一

B.二

C.三

D.四

【正确答案】：A

【解析】：由题意任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的定义，求得cosα＞0，且sinα＞0，由此得出α所在的象限．

【解答】：解：∵角α的终边过点P（sin1，cos1），

∴cosα=sin1=cos（  -1），sinα=cos1=sin（  -1），

故α和  -1终边相同．

由于  -1为锐角，∴cosα＞0，sinα＞0，

故α为第一象限角，

故选：A．

【点评】：本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，终边相同的角的定义，属于基础题．

3.（单选题，5分）“  ”是“  ”的（　　）

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【正确答案】：A

【解析】：利用充分条件和必要条件的定义进行判断．

【解答】：解：当  时，  成立．

当α=  时，满足  ，但  不成立．

故“  ”是“  ”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】：本题主要考查才充分条件和必要条件的应用，比较基础．

4.（单选题，5分）已知sinαcosα=-  ，  ，则cosα-sinα=（　　）

A.  

B.  

C.  

D.  

【正确答案】：D

【解析】：由于sinαcosα=-  ＜0，  ，可得sinα＜0，cosα＞0，利用同角三角函数基本关系式即可求解cosα-sinα的值．

【解答】：解：因为sinαcosα=-  ＜0，  ，

从而sinα＜0，cosα＞0，

可得cosα-sinα=  =  =  =  ．

故选：D．

【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

5.（单选题，5分）已知函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，若f（2a2-5a+4）＜f（a2+a+4），则实数a的取值范围是（　　）

A.  

B.[2，6）

C.  

D.（0，6）

【正确答案】：C

【解析】：由函数的定义域和单调性可得2≤2a2-5a+4＜a2+a+4，再求出a的取值范围．

【解答】：解：函数f（x）是定义在[2，+∞）的单调递增函数，

若f（2a2-5a+4）＜f（a2+a+4），则2≤2a2-5a+4＜a2+a+4，

解得0＜a≤  或2≤a＜6，

所以实数a的取值范围为（0，  ]∪[2，6），

故选：C．

【点评】：本题考查了根据函数的单调性求参数的范围，考查了转化思想，属于基础题．

6.（单选题，5分）素数也叫质数，部分素数可写成“2n-1”的形式（n是素数），法国数学家马丁•梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n-1”形式（n是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是P=2825933-1，它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为P=231-1，第9个梅森素数为Q=261-1，则  约等于（　　）（参考：在Q，P很大的条件下  ；lg2≈0.3）

A.7

B.8

C.9

D.10

【正确答案】：C

【解析】：利用题中的条件得到  ，然后令230=k，两边同取常用对数，再利用对数的运算性质求解，即可得到答案．

【解答】：解：  ，

令230=k，

则lg230=lgk，

所以30lg2=lgk，

又lg2≈0.3，

所以lgk=9，

故  约等于9．

故选：C．

【点评】：本题考查了对数的运算，涉及了指数式与对数式的互化、对数的运算法则和运算性质的运用，属于基础题．

7.（单选题，5分）已知函数f（x）=2sin（ωx+  ）在区间（0，  ）上单调递增，则ω的最大值为（　　）

A.  

B.1

C.2

D.4

【正确答案】：C

【解析】：直接利用三角函数的单调性的应用求出结果．

【解答】：解：函数f（x）=2sin（ωx+  ）在区间（0，  ）上单调递增，

令：  （k∈Z），

解得：  （k∈Z），

故：  （k∈Z），

即：  ，

解得：ω的最大值为2．

故选：C．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．

8.（单选题，5分）对于函数y=f（x），若存在x0，使f（x0）=-f（-x0），则称点（x0，f（x0））与点（-x0，-f（-x0））是函数f（x）的一对“隐对称点”．若函数  的图象存在“隐对称点”，则实数m的取值范围是（　　）

A.  

B.  

C.  

D.  

【正确答案】：B

【解析】：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，进而可解出．

【解答】：解：由隐对称点的定义可知函数f（x）图象上存在关于原点对称的点，设g（x）的图象与函数y=x2+2x，x＜0的图象关于原点对称，

令x＞0，则-x＜0，∴f（-x）=（-x）2+2（-x）=x2-2x，

∴g（x）=-x2+2x，

故原题义等价于方程mx+2=-x2+2x（x＞0）有零点，

解得m=-x-  ，

又因-x-    =2-2  ，当且仅当x=  时取等号，

∴m  ．

故选：B．

【点评】：本题考查了函数的性质，基本不等式，新概念的理解，属于基础题．

9.（多选题，5分）下列选项中，与sin（-  ）的值相等的是（　　）

A.2sin15°sin75°

B.cos18°cos42°-sin18°sin42°

C.2cos215°-1

D.  

【正确答案】：ABD

【解析】：求出sin（-  π）的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D．

【解答】：解：sin（-  ）=sin（-2π+  ）=sin  =  ．

对于A，2sin15°sin75°=2sin15°cos15°=sin30°=  ；

对于B，cos18°cos42°-sin18°sin42°=cos（18°+42°）=cos60°=  ；

对于C，2cos215o-1=cos30°=  ；

对于D，因为tan45°=  =1，可得  =  ．

∴与sin（-  ）的值相等的是ABD．

故选：ABD．

【点评】：本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式、倍角公式及两角和的三角函数，是基础题．

10.（多选题，5分）关于函数f（x）=sin2x-cos2x，下列命题中为真命题的是（　　）

A.函数y=f（x）的周期为π

B.直线  是y=f（x）的一条对称轴

C.点  是y=f（x）的图象的一个对称中心

D.y=f（x）的最大值是  

【正确答案】：ACD

【解析】：首先把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出函数的周期函数的对称轴函数的对称中心和函数的最值，进一步确定A、B、C、D的结论．

【解答】：解：函数f（x）=sin2x-cos2x=  ，

对于A：函数的最小正周期为T=  ，故A正确；

对于B：当x=  时，f（  ）=1  ，故B错误；

对于C：当x=  时，f（  ）=  ，故点  是y=f（x）的图象的一个对称中心，故C正确；

对于D：当  （k∈Z）时，即  （k∈Z）时，函数的最大值为  ，故D正确；

故选：ACD．

【点评】：本题考查的知识要点：三角函数关系的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．

11.（多选题，5分）下列说法正确的是（　　）

A.若x，y＞0，x+y=2，则2x+2y的最大值为4

B.若  ，则函数  的最大值为-1

C.若x，y＞0，x+y+xy=3，则xy的最小值为1

D.函数  的最小值为9

【正确答案】：BD

【解析】：分别有基本不等式变形，进而求解；

【解答】：解：A若x，y＞0，x+y=2，则2x+2y≥2  =2×2=4，当且仅当x=y=1时等号成立，没有最大值，故A错误；

B若  ，即2x-1＜0，则函数  +1≤-2  +1=-1，当且仅当x=0等号成立，故B正确；

C若x，y＞0，-（x+y）≤-2  ，xy=3-（x+y）≤3-2  ，即xy+2  -3≤0，解得xy≤1，当且仅当x=y时等号成立，没有最小值，故C错误；

D数  =（sin2x+cos2x）（  ）=5+  +  ≥5+2  =9，当且仅当2sin2x=cos2x时等号成立，故D正确；

故选：BD．

【点评】：考查基本不等式的灵活运用，命题真假的判断，属于高档易错题；

12.（多选题，5分）已知函数f（x）=2cos22x-2，下列命题中的真命题有（　　）

A.∃β∈R，f（x+β）为奇函数

B.∃α∈（0，  ），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立

C.∀x1，x2∈R，若|f（x1）-f（x2）|=2，则|x1-x2|的最小值为  

D.∀x1，x2∈R，若f（x1）=f（x2）=0，则x1-x2=kπ（k∈Z）

【正确答案】：BC

【解析】：化简函数f（x），画出f（x）的图象，根据图象平移判断函数f（x+β）不是奇函数，判断A错误；根据f（x）=f（x+2α）求出方程在α∈（0，  ）的解，判断B正确；由|f（x1）-f（x2）|=2时，|x1-x2|的最小值为  =  ，判断C正确；当f（x1）=f（x2）=0时，x1-x2=kT=  ，判断D错误．

【解答】：解：由题意，f（x）=2cos22x-2=cos4x-1；

∵f（x）=cos4x-1的图象如图所示；

函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，

它不会是奇函数的，故A错误；

f（x）=f（x+2α），∴cos4x-1=cos（4x+8α）-1，

∴8α=2kπ，∴α=  ，k∈Z；

又α∈（0，  ），∴取α=  或  时，

∴f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，B正确；

|f（x1）-f（x2）|=|cos4x1-cos4x2|=2时，

|x1-x2|的最小值为  =  =  ，∴C正确；

当f（x1）=f（x2）=0时，

x1-x2=kT=k•  =  （k∈Z），∴D错误；

故选：BC．

【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了命题真假的应用问题，是综合题．

13.（填空题，5分）函数f（x）=lg（2-x）定义域为___ ．

【正确答案】：[1]（-∞，2）

【解析】：直接利用对数的真数大于0，求解即可．

【解答】：解：要使函数有意义，可得2-x＞0，即x＜2．

函数f（x）=lg（2-x）定义域为：（-∞，2）．

故答案为：（-∞，2）．

【点评】：本题考查函数的定义域的求法，是基础题．

14.（填空题，5分）将函数y=sinx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的函数图象向左平移  个单位，最后所得到的图象对应的解析式是___ ．

【正确答案】：[1]y=sin（  x+  ）．

【解析】：由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．

【解答】：解：将函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），

可得函数y=sin  x的图象；

再将所得的图象向左平移  个单位，得到的图象对应的解析式是y=sin  （x+  ）=sin（  x+  ）的图象，

故答案为：y=sin（  x+  ）．

【点评】：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．

15.（填空题，5分）  的单调区间是___ ．

【正确答案】：[1]  ，k∈Z

【解析】：利用正切函数的单调增区间得到  ，求解即可得到f（x）的单调增区间．

【解答】：解：函数  ，

令  ，

解得  ，

故f（x）的单调区间是  ．

故答案为：  ．

【点评】：本题考查了三角函数性质的运用，涉及了正切函数单调性的求解，解题的关键是掌握正切函数y=tanx的单调性，属于基础题．

16.（填空题，5分）已知函数  ．若存在正实数k，使得方程  有三个互不相等的实根x1，x2，x3，则x1+x2+x3的取值范围是___ ．

【正确答案】：[1]  

【解析】：分离参数可得k=xf（x），作出y=xf（x）的函数图象，根据二次函数的对称性求出x1+x2的值，并求出x3的范围即可得到答案．

【解答】：解：由  可得k=xf（x）=  且x≠0，

令g（x）=  且x≠0，

作出y=g（x）的函数图象如下：

因为方程  有三个互不相等的实根x1，x2，x3，

所以直线y=k与y=g（x）的图象有三个交点，

设三个交点的横坐标从小到大分别为x1，x2，x3，

由二次函数的对称性可知x1+x2=4，

令x2-4x=4可得x=  或  （舍去），

所以4＜x3＜  ．

所以x1+x2+x3的取值范围是  ．

故答案为：  ．

【点评】：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，同时考查了数形结合的数学思想和转化能力，属于中档题．

17.（问答题，10分）已知  ．

（1）求tanθ的值；

（2）求  的值．

【正确答案】：

【解析】：（1）利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．

（2）利用同角三角函数基本关系式化简即可得解．

【解答】：解：（1）原式可化为  =  =  ，

可得tanθ=2．

（2）  =  =  =  ．

【点评】：本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．

18.（问答题，12分）已知函数  是奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）判断f（x）的单调性（不用证明）；

（3）求不等式f（x2-x）+f（-2）＜0的解集．

【正确答案】：

【解析】：（1）根据函数奇偶性的性质，利用f（0）=0进行求解即可．

（2）根据函数单调的性质进行判断即可．

（3）根据函数奇偶性和单调性的性质进行转化求解即可．

【解答】：解：（1）由  的定义域为R，

可得  ，可得  ．

经验证，  符合题意．

∴  ．  ．

（2）∵y=2x为增函数，∴y=2x+1为增函数，且2x+1＞1，

所以y=  为减函数，可得  在R上为减函数．

（3）由f（x2-x）+f（-2）＜0，可得f（x2-x）＜-f（-2），

即f（x2-x）＜f（2），

由  在R上为减函数，

所以x2-x＞2，即x2-x-2＞0，所以x＜-1或x＞2，

故解集为（-∞，-1）∪（2，+∞）．

【点评】：本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，结合函数的奇偶性的性质，利用转化法是解决本题的关键，是中档题．

19.（问答题，12分）已知  ，且  ．

 ① 求sinα和cosα；

 ② 求β的值．

【正确答案】：

【解析】：（1）由已知结合cos2α=  可求cosα的值，进而求出sinα的值，

（2）由已知可先求cos（α-β），然后结合sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-sin（α-β）cosα，代入可求解即可．

【解答】：解：（1）因为  ，且  ，

所以cos2α=  =  ，

因为cosα＞0，所以cosα=  ，

所以sin  =  ，

（2）因为  ，所以  ，

所以cos（α-β）=  =  ，

所以sinβ=sin[α-（α-β）]=sinαcos（α-β）-sin（α-β）cosα，

=  =  ，

故  ．

【点评】：本题主要考查了和差角公式，同角平方关系在求解三角函数值中的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属中档题．

20.（问答题，12分）已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q（单位：万元）与速度v（单位：百公里/小时）（0≤v≤3）的以下数据：

Q=av3+bv2+cv，Q=0.5v+a，Q=klogav+b．

（1）试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；

（2）该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．

【正确答案】：

【解析】：（1）由表中v，Q对应的数据分别代入模型可判断最符合实际的函数模型，并求得相应的函数解析式；

（2）利用函数配方求最值可得答案．

【解答】：解：（1）若选择函数模型Q=0.5v+a，则该函数在v∈[0，3上为单调减函数，

这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型，

若选择函数模型Q=klogav+b，须y＞0，这与试验数据在v=0时有意义矛盾，

所以不选择该函数模型；

从而只能选择函数模型Q=av3+bv2+cv，由试验数据得，

a+b+c=0.7， ① 

8a+4b+2c=1.6， ② 

27a+9b+3c=3.3， ③ 

联立 ①  ②  ③ 解得：a=0.1，b=-02，c=0.8；

故所求函数解析式为：Q=0.1v3-0.2v2+0.8v，（0≤v≤3）

（2）设超级快艇在AB段的航行费用为y（万元）

则所需时间为  （小时），其中：0＜v≤3，

结合（1）知，y=  （0.1v3-0.2v2+0.8v）

=0.3[（v-1）2+7]

所以当v=1时，ymin=2.1

答：（1）相应的函数解析式：Q=0.1v3-0.2v2+0.8v，（0≤v≤3）；当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元；

【点评】：本题考查函数模型的运用，考查学生的计算能力，比较基础．

21.（问答题，12分）如图，在半径为  ，圆心角为60°的扇形的弧上任取一点P，作扇形的内接矩形PNMQ，使点Q在OA上，点N，M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y．

（1）设PN=x，将y表示成x的函数关系式；

（2）设∠POB=θ，将y表示成θ的函数关系式；并求出y的最大值．

【正确答案】：

【解析】：（1）利用QM=PN=x，得到MN的值，从而得到矩形面积的表达式；

（2）利用边角关系，将OM，ON，MN，PN均用θ的三角函数表示，然后得到y的关系式，再利用辅助角公式和二倍角公式进行化简，即可求得函数的最值．

【解答】：解：（1）因为QM=PN=x，

所以  ，

所以  ．

（2）当∠POB=θ时，  ，

则OM=sinθ，

又  ，

所以  ，

所以  ，

即  ，

故当  时，y取得最大值为  ．

【点评】：本题考查了函数在实际生产生活中的应用，涉及了三角函数最值的求解、二倍角公式和辅助角公式的运用，解题的关键是用变量将所需要的量表示出来，属于中档题．

22.（问答题，12分）已知定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）=|x+  -5|．

（1）求函数f（x）的零点；

（2）若方程f（x）=m（m＞0）有四个不等实根x1，x2，x3，x4，证明x1•x2•x3•x4=16；

（3）在区间[1，4]上是否存在实数a，b（a＜b），使得函数f（x）在区间[a，b]上单调，且f（x）的值域为[ma，mb]，若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．

【正确答案】：

【解析】：（1）令f（x）=0，求解即可．

（2）如图，要使f（x）=m有四个根，则0＜m＜1，令  ，当g（x）=m，转化求解四个根的乘积即可．

（3）通过[a，b]⊆[1，2]时，求解  ，  ，

由  ，转化求解推出m 的范围．

 ② 当[a，b]∈[2，4]，  ，推出  ，然后转化求解m的范围即可．

【解答】：解：（1）令f（x）=0，解得x=1或x=4．

（2）证明：如图，要使f（x）=m有四个根，则0＜m＜1，

令  ，当g（x）=m，则x2-（5+m）x+4=0，

∴x1⋅x4=4，当g（x）=-m，则x2-（5-m）x+4=0，

∴x2⋅x3=4，∴x1⋅x2⋅x3⋅x4=16．

（3） ① 当[a，b]⊆[1，2]时，  ，

∴  ，  ，

由  得，  ，

即5ab-4（a+b）=0，∴  ，

由b∈（1，2]，解得  ，

由a∈[1，2），  ，

∵b＞a，∴  ，∴  ，

由  ，可得  ．

 ② 当[a，b]⊆[2，4]，  ，

由f（a）=mb，f（b）=ma可得a+b=5，

再由f（a）=mb，得  ，

把b=5-a代入得  ，

∵2≤a＜4，2＜b≤4且b＞a，∴  ，∴  ，

综上，当[a，b]∈[1，2]时，  ；当[a，b]∈[2，4]，∴  ．

【点评】：本题考查函数与方程的应用，考查数形结合以及转化思想的应用，是难题．