基于MATLAB_Simulink的混沌控制研究

基于MATLAB/Simulink 的混沌控制研究∗

莫玉芳，邹艳丽†

（广西师范大学电子工程学院，广西 桂林541004）

摘 要：研究了一种类似Lorenz 系统的新混沌系统，采用比例微分控制法（PDC ）实现了该系统的混沌控制。应用 MATLAB 软件中的Simulink 模块构建混沌系统的动力学模型并进行仿真研究，理论分析和实验仿真表明，通过选择合适的控制参数，混沌系统不但可以被稳定到系统原有的不稳定不动点还可以产生新的稳定动力学行为。

关键词：混沌控制；比例微分控制法；Simulink ；动力学分析

中图分类号：O415.5 文献标识码：A 文章编号：1003-7551(2010)03-0019-04

1 引言

自从美国科学家E.N.Lorenz 发现第一个混沌吸引子[1]

以来，经过半个世纪的发展，混沌科学渗透到了多个学科领域。随着对混沌现象认识的不断深入，如何应用混沌研究的成果为人类服务已成为非线性科学发展

的一个重要课题[2]。2007年，褚衍东等[3]

提出了一个类似Lorenz 系统的新混沌系统，由于该系统的三个平衡点都是非零点，因而比Lorenz 系统具有更为复杂的拓扑结构和动力学行为。本文在对该系统的基本动力学

行为进行分析的基础上，借助MATLAB 中的Simulink 仿真工具，采用比例微分控制法[4]

研究了该系统的混沌控制。

2 新混沌系统分析

新混沌系统的动力学方程为：

（1）

()⎪⎪⎪⎩

⎪⎪

⎪⎨

⎧−−=−=•

−=••

cz

xy b z y xz y x y a x （1）式中x 、、y z 为系统的状态变量。当系统参数取为=5，b =16，=1时，系统处于混沌状态，其混沌吸引子如图2所示。

a c 该系统有几条最基本的性质[3，5]

：（a）对称性和不变性；（b）耗散性和吸引子的存在性；（c）平衡点。其中，系统（1）的三个平衡点分别为：(0，0，16)，0A +A (15，15，1)，−A (-15，-15，1)，都是非零平衡点。该系统比Lorenz 系统具有更复杂的拓扑结构和动力学行为。通过线性稳定性分析,可知系统的三个平衡点都是鞍式焦点或鞍式结点，因而都是不稳定不动点。

3 混沌控制研究

3.1 控制方法描述

采用比例微分控制法[4]

,具体描述如下： 对于维自治或非自治非线性动力学系统：

n （2）

(t x F x ,,μ=•

))这里是维光滑的向量场，(n i n f f f f F R x ,,,,,,21""=∈n μ为系统的参数。当μ取一定范围的值时，系统(2)处

收稿日期：2010-07-22

∗ 基金项目：国家自然科学基金项目（No.11062001），广西高校优秀人才资助计划项目（RC2007006）；广西自治区高校重点建设实验室“现代电子信息技术与自动控制实验室”（200912） † 通讯作者：zouyanli72@163.com

于混沌状态。现对系统（2）的状态变量取比例微分，其中是本控制方法中的两个可调参数，将按如下方式进行反馈：

i x i i i x K x K x •

+=′2121,K K i x ′ （3）

()()⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=′===≠′=••

•

i i i n i j j n i j j x K x K x n j i

j t x x x x f x i j t x x x x f x 212121,,2,1;

,,,,,,,;,,,,,,,"""""μμ由 (3)式所示的反馈方式可知:中的子系统()F ()i f 不受反馈控制作用而自由演化。若子系统

中无状态变量，也不受控制作用而自由演化。因此我们只需要对系统的一部分子系

统进行控制，就可以实现对系统的整体控制。下面我们将采用该方法对褚衍东等提出的新混沌系统进行混沌

控制研究。 (

)()i j n j f j ≠=,,,2,1"i x 3.2 理论分析

选择系统（1）中的状态变量进行反馈控制，采用比例微分控制法，受控后的系统方程为:

z （4）

()⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨

⎧+=−−=−=−=•

•

•

•

z

K z K z cz

xy b z y

xz y x y a x 21''由受控后系统（4）可知，当系统被控制到不动点时，有•

z = 0。若取=1，则有，则系统控制得到的稳定不动点是原系统中的不稳定不动点；当≠1时，1K z z ='1K •

z = 0，z z K z ≠=1',得到的稳定不动点不是原系统的不稳定不动点，而是一种新的稳定动力学行为。由此可知，取适当的值时，混沌系统不但可以被稳定到系统原有的不稳定不动点还可以产生新的稳定动力学行为。

21,K K 为了研究的取值对混沌控制的影响，按取值范围，分两种情况对系统稳定性进行分析：

21,K K 1K （1）当= 1时，将方程(4)中式带入式，并作进一步变形得:

1K •

+=z K z K z 21'y xz y −=•

' （5）

()⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨⎧−−=−−+−=−=••

•

cz xy b z y y x K bx K xz c K y x y a x 2222)1(此时，受控系统(5)式与原系统(1)有相同的不动点:。将(5)式在不动点处进行线性化，其雅可比矩阵为：

−+A A A ,,0 ()

−+⎥⎥

⎦⎤

⎢⎢⎣

⎡

−−−−−−−+−−=A

A A c

x

y x c K x K xy

K b K z c K a

a A ,,)1(12)1(00222222 （6）

由于受控后的系统在点的雅可比矩阵有相同的特征值，所以点局部稳定性相同。故以下仅以

−

+

A A ,−+A A ,+A 的稳定性进行讨论。将和c b a 、、+A 点的值代入(6)式求得特征方程为：

()()150150211572223+++++=−λλλλK K A I （7） 由劳斯判据可得，当>0.0022时系统的不动点稳定，即Lorenz 系统能够被控制到原系统的不稳定不动点，使系统原有的不稳定周期轨道达到稳定。

2K −+A A ,（2）当时，受控后系统（5）的三个平衡点分别为：11≠K ′0A (0，0，16)，′

+A (1/116K −，1/116K −，

)， 1/1K ′

−A (-1/116K −，-1/116K −，)。控制得到的稳定不动点不再是原系统的不稳定不动点，而

产生了一种新的稳定动力学行为。其稳定性分析方法与上相同，求得，当>0.0022时系统的不动点

1/1K 1/2K K

'

',−+A A 稳定，即Lorenz系统能够被控制到新的稳定不动点，不仅使系统的不稳定周期轨道达到稳定而且产生

了新的动力学行为。 3.3 仿真模型设计

我们采用MATLAB 中的Simulink [6]

仿真模块对新混沌系统进行建模和控制分析。该种建模和仿真方法的突出优点是仿真过程具有动态可观测性。具体的仿真模型如图1所示，仿真控制结果如图3－5

所示。

图1 新混沌系统的Simulink 仿真模型

x

y

图2 系统(1)的混沌吸引子

x

z

t

y

(a)控制到右边不动点时的x-y-z 相图 (b)控制到右边不动点时变量y 的波形图 图3 当时，系统的仿真控制结果

03.0,121==K K

在满足系统不动点稳定的的取值范围内，由图3和图4可以看出：当取值不同时，系统

21,K K 21,1K K =

受控后从不稳定到稳定的暂态过程时间长短由决定，越大，系统被控制到稳定状态的时间越短；反之，时间越长；由图4和图5可以看出：当取值不同时，越大，系统被控制到稳态的时间越长，反之，时间越短；由图5可以看出：当2K 2K 12,3.0K K =1K 1,3.012≠=K K 时，受控后系统稳定到了新的平衡点，该平衡点并非是原系统的不稳定平衡点，受控后系统产生了新的稳定动力学行为。这些仿真结果和3.2的理论分析是一致的。同时，通过大量的仿真研究，我们发现每个不动点都有自己的吸引域，控制结果与起控时系统所处的轨道位置有关,如果当系统运动的轨道位于+A 的吸引域时进行反馈控制，则会控制到+A 不动点，反之为−A 不动点。因此采用比例微分控制器的反馈控制方法可以按照研究者的需要将系统引导到所希望的目标轨道上。

y

z

t

y

(a)控制到左边不动点时的y-z 相图 (b)控制到左边不动点时变量y 的波形图

图4 当3.0,12

1==K K 时，系统的仿真控制结果

x

y

t

x

(a)控制到新的不动点时的x-y 相图 (b)控制到新的不动点时变量x 的波形图

图5 当3.0,1521==K K 时，系统的仿真控制结果

4 结论

本文采用比例微分控制法研究了一个新混沌系统的混沌控制。研究表明控制参数取不同值时，不但可以稳定系统原有的不稳定周期轨道,而且能产生新的稳定动力学行为。同时，改变控制参数的取值，能有效地调节控制的速度。该方法只需要单个变量对系统的部分状态方程进行反馈就可实现混沌控制，减小了控制实施的难度，具有一定的工程应用价值。

21,K K

参 考 文 献

[1] Lorenz E N.Deterministic nonperiodic flow[J].J Atmos Sci,1963,20:130. [2] 黄润生，黄浩.混沌及其应用（第二版）[M].武汉：武汉大学出版社，2005.

[3] 褚衍东,李险峰,张建刚,等.一类新自治混沌系统的计算机仿真与电路模拟[J].四川大学学报,2007,44(3):550-556. [4] 邹艳丽，罗晓曙.用比例微分控制器实现混沌控制[J].广西师范大学学报，2002，20：9-13.

[5] 陈关荣，吕金虎.Lorenz 系统族的动力学分析、控制与同步[M].北京：科学出版社，2003，9-13. [6]

葛哲学.精通MATLAB[M].北京：电子工业出版社，2008.