2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校高二(上)期中数学试卷...

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：

1．（5分）下列说法正确的是（　　）

A．任一空间向量与它的相反向量都不相等    

B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆    

C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量    

D．不相等的两个空间向量的模可能相等

2．（5分）直线l的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则直线l的斜率是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．（5分）已知点A（2，3，﹣2），B（﹣1，k，5），O为坐标原点，若向量，则实数k＝（　　）

A．4    B．    C．    D．﹣4

4．（5分）过直线2x﹣y+4＝0与x+y+5＝0的交点，且垂直于直线x﹣2y＝0的直线方程是（　　）

A．2x+y﹣8＝0    B．2x﹣y﹣8＝0    C．2x+y+8＝0    D．2x﹣y+8＝0

5．（5分）两平行直线l1：x+2y﹣2＝0和l2：ax+4y+1＝0之间的距离为（　　）

A．    B．    C．    D．

6．（5分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y＝x﹣1对称，直线3x+4y+16＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（　　）

A．（x﹣2）2+（y+3）2＝13    B．（x+2）2+（y﹣3）2＝18    

C．（x+2）2+（y﹣3）2＝13    D．（x﹣2）2+（y+3）2＝18

7．（5分）点M为圆C：（x+2）2+（y+1）2＝4上任意一点直线（3λ+1）x+（2λ+1）y＝5λ+2过定点P，则|MP|的最大值为（　　）

A．    B．    C．    D．

8．（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　）

A．AC1＝6    

B．BD⊥平面ACC1    

C．向量与的夹角是120°    

D．BD1与AC1所成角的余弦值为

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

（多选）9．（5分）下列说法错误的是（　　）

A．平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示    

B．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为|b|    

C．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为    

D．两条直线中，斜率越大，则倾斜角越大

（多选）10．（5分）已知圆O1：x2+（y﹣a﹣1）2＝1和圆O2：x2+y2＝9有四条公切线，则实数a的取值可以是（　　）

A．4    B．﹣4    C．6    D．﹣6

（多选）11．（5分）如图，设E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（　　）

A．三棱锥D1﹣B1EF的体积为定值    

B．异面直线D1B1与EF所成的角为60°    

C．直线D1B1与平面B1EF所成的角为30°    

D．二面角D1﹣EF﹣B1的平面角为45°

（多选）12．（5分）过直线x+y＝4（0＜x＜4）上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于点M，N，则（　　）

A．直线OP为线段AB的中垂线    

B．四边形PAOB面积的最小值为4    

C．|AB|的最小值为    

D．|OM|+|ON|的最小值为4

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）：

13．（5分）纵截距为﹣4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为 　   　．

14．（5分）点在圆x2+y2﹣2y+m2﹣m﹣1＝0外，则实数m的取值范围是 　   　．

15．（5分）如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和AA'B'B为是矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD．若AA'＝AD＝2，则直线AB到面DA'C的距离为 　   　．

16．（5分）已知实数x、y满足x2+（y﹣2）2＝2，则的取值范围是 　   　．

四、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：

17．已知空间中三点A（0，﹣1，2），B（2，3，4），C（﹣1，0，1）．

（1）求△ABC的面积；

（2）若点D（x，3，4）在A，B，C三点确定的平面内，求x的值．

18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．

（1）求证：MN∥平面BDE；

（2）求二面角C﹣EM﹣N的余弦值．

19．已知A（2，﹣3），直线l：x﹣y+1＝0．

（1）直线l关于点A的对称直线l1的方程；

（2）若光线沿直线2x﹣y﹣3＝0照射到直线l上后反射，求反射光线所在的直线l2的方程．

20．如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ACB＝120°，A1A＝4，B1B＝1，AC＝BC＝C1C＝2．

（1）证明：AC1⊥平面A1B1C1；

（2）求直线AB1与平面ACC1所成的角的余弦值．

21．已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0．

（1）求过点（3，1）与圆C相切的切线方程；

（2）过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．

22．已知圆M经过两点A（1，﹣1），B（2，0）且圆心M在直线y＝x﹣1上．

（1）求圆M的方程；

（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且k1•k2＝3，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标．

2021-2022学年广东省深圳市南山外国语学校高二（上）期中数学试卷

参与试题解析

一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）：

1．（5分）下列说法正确的是（　　）

A．任一空间向量与它的相反向量都不相等    

B．将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆    

C．模长为3的空间向量大于模长为1的空间向量    

D．不相等的两个空间向量的模可能相等

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，零向量与其相反向量是相等的，A错误；

对于B，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个球，B错误；

对于C，向量不能比较大小，C错误；

对于D，不相等的两个空间向量可能是方向不同，但模相等，D正确；

故选：D．

2．（5分）直线l的倾斜角等于直线倾斜角的2倍，则直线l的斜率是（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵直线 的斜率为，故它的倾斜角为60°，

而直线l的倾斜角等于直线 的倾斜角的2倍，

则直线l的倾斜角为120°，故直线l的斜率是tan120°，

故选：D．

3．（5分）已知点A（2，3，﹣2），B（﹣1，k，5），O为坐标原点，若向量，则实数k＝（　　）

A．4    B．    C．    D．﹣4

【解答】解：∵点A（2，3，﹣2），B（﹣1，k，5），O为坐标原点，若向量，

则•（）2+3k﹣10﹣（4+9+4）＝0，求得k，

故选：C．

4．（5分）过直线2x﹣y+4＝0与x+y+5＝0的交点，且垂直于直线x﹣2y＝0的直线方程是（　　）

A．2x+y﹣8＝0    B．2x﹣y﹣8＝0    C．2x+y+8＝0    D．2x﹣y+8＝0

【解答】解：联立，得x＝﹣3，y＝﹣2，

故所求直线方程为y+2＝﹣2（x+3），即2x+y+8＝0．

故选：C．

5．（5分）两平行直线l1：x+2y﹣2＝0和l2：ax+4y+1＝0之间的距离为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：∵两直线l1：x+2y﹣2＝0和l2：ax+4y+1＝0平行，

∴，解得a＝2，

直线l1可化为2x+4y﹣4＝0，

故2x+4y﹣4＝0和2x+4y+1＝0的距离为．

故选：B．

6．（5分）已知圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y＝x﹣1对称，直线3x+4y+16＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为（　　）

A．（x﹣2）2+（y+3）2＝13    B．（x+2）2+（y﹣3）2＝18    

C．（x+2）2+（y﹣3）2＝13    D．（x﹣2）2+（y+3）2＝18

【解答】解：圆C的圆心与点P（﹣2，1）关于直线y＝x﹣1对称，设C（m，n），

则PC的中点在y＝x﹣1上，且直线PC与直线y＝x﹣1垂直，

则，解得m＝2，n＝﹣3，

所以C（2，﹣3），

圆心C（2，﹣3）到直线3x+4y+16＝0的距离为d，

则，

设圆C的半径为r，

则|AB|，

解得r，

所以圆C的方程为（x﹣2）2+（y+3）2＝13．

故选：A．

7．（5分）点M为圆C：（x+2）2+（y+1）2＝4上任意一点直线（3λ+1）x+（2λ+1）y＝5λ+2过定点P，则|MP|的最大值为（　　）

A．    B．    C．    D．

【解答】解：（3λ+1）x+（2λ+1）y＝5λ+2整理为：（3x+2y﹣5）λ+x+y﹣2＝0，

令，解得：，

所以定点P坐标为P（1，1），

代入圆的方程中，（1+2）2+（1+1）2＞4，所以P（1，1）在圆外，

因为点M为圆C：（x+2）2+（y+1）2＝4上任意一点，设圆C的半径为r＝2，

所以|MP|的最大值应该为|PC|+r，

由两点间距离公式：，所以|MP|的最大值为

故选：B．

8．（5分）如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（　　）

A．AC1＝6    

B．BD⊥平面ACC1    

C．向量与的夹角是120°    

D．BD1与AC1所成角的余弦值为

【解答】解：平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，

故2216，

故，故A错误；

对于B：根据角平分线定理，点A1在平面ABCD上的射影在AC上，由于四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，所以BD⊥平面AA1C1C，故B正确；

对于C：由于△BCB1为等边三角形，所以向量与的夹角是60°，故C错误；

对于D：利用，则，整理得：，

由于72，

所以，故D错误．

故选：B．

二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分）

（多选）9．（5分）下列说法错误的是（　　）

A．平面内所有的直线方程都可以用斜截式来表示    

B．直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为|b|    

C．在x轴、y轴上的截距分别为a，b的直线方程为    

D．两条直线中，斜率越大，则倾斜角越大

【解答】解：对于A：斜率存在的直线的方程可以用斜截式表示，故A错误；

对于B：直线y＝kx+b与y轴的交点到原点的距离为|b|，故B正确；

对于C：在x轴、y轴上的截距分别为a，b且不为0的直线方程为，故C错误；

对于D：当倾斜角为45°和135°时，斜率为1和﹣1，不满足斜率越大，则倾斜角越大，故D错误；

故选：ACD．

（多选）10．（5分）已知圆O1：x2+（y﹣a﹣1）2＝1和圆O2：x2+y2＝9有四条公切线，则实数a的取值可以是（　　）

A．4    B．﹣4    C．6    D．﹣6

【解答】解：∵圆C1：x2+（y﹣a﹣1）2＝1与圆C2：x2+y2＝9有四条公共切线，

∴两圆相离，

两圆的圆心距d＝|a+1|，则有|a+1|＞1+3＝4，可得a＜﹣5或a＞3．

结合选项可知，实数a的取值可以是﹣6和4，6．

故选：ACD．

（多选）11．（5分）如图，设E，F分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DC上两点，且AB＝2，EF＝1，其中正确的命题为（　　）

A．三棱锥D1﹣B1EF的体积为定值    

B．异面直线D1B1与EF所成的角为60°    

C．直线D1B1与平面B1EF所成的角为30°    

D．二面角D1﹣EF﹣B1的平面角为45°

【解答】解：对于A，三棱锥D1﹣B1EF的体积为

V2×2×1

，为定值，所以A正确；

对于B，EF∥D1C1，D1B1和D1C1所成的角是45°，异面直线D1B1所成的角45°，故B错误，

对于C，连接AD1交A1D于M，连接B1M，由正方体性质知A1B1⊥AD1，A1D⊥AD1，而A1B1∩A1D＝A1，

因此，AD1⊥平面A1B1CD，因此∠D1B1M是直线B1D1与平面A1B1CD所成的角，

在直角三角形MB1D1中，D1MD1B1，所以∠D1B1M＝30°，故C正确．

对于D，二面角D1﹣EF﹣B1的平面角为平面D1C1CD与平面A1B1CD所成角，它的平面角为∠C1CB1＝45°，

故D正确．

故选：ACD．

（多选）12．（5分）过直线x+y＝4（0＜x＜4）上一点P作圆O：x2+y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与x，y轴分别交于点M，N，则（　　）

A．直线OP为线段AB的中垂线    

B．四边形PAOB面积的最小值为4    

C．|AB|的最小值为    

D．|OM|+|ON|的最小值为4

【解答】解：对于A，由切线长定理可知，PA＝PB，又OA＝OB，

∴直线OP为线段AB的中垂线，故A正确；

对于B，连接PO，由题可得Rt△PAO≌Rt△PBO，

∴四边形PAOB的面积S＝2PA×OA＝2PA＝2，

又PO的最小值为点O到直线x+y＝4的距离，即2，

∴四边形PAOB面积最小为24，故B正确；

对于C，设P（a，b），则以线段OP为直径的圆的方程为x（x﹣a）+y（y﹣b）＝0，

与圆O的方程x²+y²＝4相减，得ax+by＝4，即直线AB的方程为ax+by＝4，

又点P在直线x+y＝4上，∴a+b＝4，即b＝4﹣a，

代入直线AB中得a（x﹣y）+4y﹣4＝0，

即a（x﹣y）+4y﹣4＝0，令x＝y，则4y﹣4＝0，得x＝1，y＝1，

∴直线AB过定点C（1，1），则OC，

故AB的最小值为22，故C错误；

对D，在ax+by＝4中，令x＝0，得y，令y＝0，得x，

即M（，0），N（0，），

∴|OM|+|ON|，

∵P（a，b）在x+y＝4（0＜x＜4）上，∴a+b＝4且0＜a＜4，

则（a+b）（）＝22+24，

当且仅当a＝b＝2时取等号，

∴|OM|+|ON|的最小值为4，故D正确．

故选：ABD．

三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）：

13．（5分）纵截距为﹣4，与两坐标轴围成的三角形面积为24的直线的一般式方程为 　x+3y+12＝0或x﹣3y﹣12＝0　．

【解答】解：由题意可设直线方程为1（a≠0），

则24，即a＝±12，

所以直线方程为或1，

所以直线的一般式方程x﹣3y﹣12＝0或x+3y+12＝0．

故答案为：x+3y+12＝0或x﹣3y﹣12＝0．

14．（5分）点在圆x2+y2﹣2y+m2﹣m﹣1＝0外，则实数m的取值范围是 　（﹣1，）∪（，2）　．

【解答】解：由（﹣2）2﹣4（m2﹣m﹣1）＞0，

得m2﹣m﹣2＜0，解得﹣1＜m＜2．

∵点在圆x2+y2﹣2y+m2﹣m﹣1＝0外，

∴12+（）2﹣2m2﹣m﹣1＞0，

即4m2﹣4m﹣3＞0，解得m或m．

综上，实数m的取值范围是（﹣1，）∪（，2）．

故答案为：（﹣1，）∪（，2）．

15．（5分）如图所示，在三棱柱中，已知ABCD和AA'B'B为是矩形，平面AA'B'B⊥平面ABCD．若AA'＝AD＝2，则直线AB到面DA'C的距离为 　　．

【解答】解：因为几何体是三棱柱，所以AB∥面DA'C，

直线AB到面DA'C的距离为点A到面DA'C的距离，

距离设为h，所以VA﹣A′DC＝VA′﹣ADC，

ABCD和AA'B'B为是矩形，AA'⊥AB，平面AA'B'B⊥∩平面ABCD＝AB，平面AA'B'B⊥平面ABCD，所以，AA′⊥平面ABCD，

AA'＝AD＝2，

所以：，

解得，h，

故答案为：．

16．（5分）已知实数x、y满足x2+（y﹣2）2＝2，则的取值范围是 　[0，]　．

【解答】解：P（x，y）为圆x2+（y﹣2）2＝2上任意一点，

则P到直线x+y＝0的距离PM，即|x+y|PM，

则sin∠POM，

设圆x2+（y﹣2）2＝2与直线y＝kx相切，则，解得k＝±1．

∴∠POM的最小值为0°，最大值为90°，

∴0≤sin∠POM≤1，则ω∈[0，]，

故答案为：[0，]．

四、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：

17．已知空间中三点A（0，﹣1，2），B（2，3，4），C（﹣1，0，1）．

（1）求△ABC的面积；

（2）若点D（x，3，4）在A，B，C三点确定的平面内，求x的值．

【解答】解：（1）∵A（0，﹣1，2），B（2，3，4），C（﹣1，0，1），

∴，，

∵，

∴AB⊥AC，

∵，，

∴△ABC的面积S．

（2）由点D（x，3，4），可得，

∵点D（x，3，4）在A，B，C三点确定的平面内，

∴存在实数λ，μ使得，

即，解得x＝2，λ＝0，μ＝0，

故x的值为2．

18．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2．

（1）求证：MN∥平面BDE；

（2）求二面角C﹣EM﹣N的余弦值．

【解答】证明：（1）取AB的中点F，连结MF，NF，

∵MF∥BD，FN∥AC∥DE，BD∩DE＝D，

∴平面BDE∥平面FMN，

∵MN⊂平面FMN，∴MN∥平面FMN．

解：（2）如图，建立空间直角坐标系，

则C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E（0，2，2），

∴（1，2，﹣1），（0，2，1），

设平面MEN的法向量（x，y，z），

则，取z＝2，得（4，﹣1，2），

取面CEM的一个法向量（1，0，0），

|cos|，

∵二面角C﹣EM﹣N的平面角为锐角，∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为．

19．已知A（2，﹣3），直线l：x﹣y+1＝0．

（1）直线l关于点A的对称直线l1的方程；

（2）若光线沿直线2x﹣y﹣3＝0照射到直线l上后反射，求反射光线所在的直线l2的方程．

【解答】解：（1）设直线l1上任意一点的坐标为（x，y），

则（x，y）关于点A（2，﹣3）的对称点为（4﹣x，﹣6﹣y）在直线l上，

所以4﹣x﹣（﹣6﹣y）+1＝0，即x﹣y﹣11＝0，

所以直线l1的方程为x﹣y﹣11＝0；

（2）联立，解得x＝4，y＝5，

所求直线过点（4，5），

取直线2x﹣y﹣3＝0上的一点为（0，﹣3），

设（0，﹣3）关于直线l的对称点为（a，b），

则，解得a＝﹣4，b＝1，

所以所求直线过点（4，5）和（﹣4，1），

反射光线所在的直线l2的方程为，即x﹣2y+6＝0．

20．如图，已知多面体ABC﹣A1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ACB＝120°，A1A＝4，B1B＝1，AC＝BC＝C1C＝2．

（1）证明：AC1⊥平面A1B1C1；

（2）求直线AB1与平面ACC1所成的角的余弦值．

【解答】（1）证明：以A为坐标原点，AB，AA1所在直线分别为y，z轴，在平面ABC内作Ax⊥AB，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0，0，0），C1（1，，2），A1（0，0，4），B1（0，2，1），

∴（1，，2），（0，2，﹣3），（1，，﹣2），

∴•，即AC1⊥A1B1，

1，即AC1⊥A1C1，

又A1B1∩A1C1＝A1，

∴AC1⊥平面A1B1C1；

（2）解：由（1）可知，（0，2，1），（1，，0），

（1，，2），

设平面ACC1的法向量为（x，y，z），

则，令y＝1，得（，1，0），

设直线AB1与平面ACC1所成的角为θ，

则sinθ＝|cos，|＝|，

∴cos．

故直线AB1与平面ACC1所成的角的余弦值为．

21．已知圆C：x2+y2﹣4y+3＝0．

（1）求过点（3，1）与圆C相切的切线方程；

（2）过原点的动直线l与圆C相交于不同的两点A，B，求线段AB的中点M的轨迹方程．

【解答】解：由已知圆C：x2+（y﹣2）2＝1，圆心（0，2），半径为1，

当过点（3，1）的直线斜率不存在，即直线为x＝3时，此时直线与圆不相切；

当过点（3，1）的直线斜率存在时，设直线为y＝k（x﹣3）+1，

即kx﹣y﹣3k+1＝0，

所以，

解得k＝0或，

故直线方程为y＝1或，

即y＝1或；

（2）当直线斜率存在时，设直线：y＝kx，

A（x1，y1），B（x2，y2），中点M（x0，y0），

联立，

所以有（1+k2）x2﹣4kx+3＝0，

则Δ＝16k2﹣12（1+k2）＞0，

解得或，

所以，

则，

所以，x02+y22﹣2y0＝0，y0∈（，2）．

当直线斜率不存在时，线段AB中点（0，2），

符合，

故线段AB的中点M的轨迹方程．

22．已知圆M经过两点A（1，﹣1），B（2，0）且圆心M在直线y＝x﹣1上．

（1）求圆M的方程；

（2）设E，F是圆M上异于原点O的两点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，且k1•k2＝3，求证：直线EF经过一定点，并求出该定点的坐标．

【解答】（1）解：圆M经过两点A（1，﹣1），B（2，0）且圆心M在直线y＝x﹣1上，

所以设圆心M（a，a﹣1），半径为r，

所以|MA|＝|MB|＝r，即，

解方程得a＝1，r＝1，即圆心M（1，0），

所以圆M的方程为（x﹣1）2+y2＝1．

（2）证明：当直线EF的斜率不存在时，设方程为x＝m，0＜m＜21，

则，

所以，

所以，不满足条件，

所以直线EF的斜率存在，不妨设方程为y＝kx+b，

联立方程得（1+k2）x2+（2kb﹣2）x+b2＝0，

所以Δ＝（2kb﹣2）2﹣4（1+k2）b2＝4﹣8kb﹣4b2＞0，

设E（x1，y1），F（x2，y2），则，

所以，

所以，

因为k1⋅k2＝3，即，

所以，代入整理得k＝b，

所以直线y＝kx+b＝k（x+1），即直线过点（﹣1，0）．

所以直线EF经过一定点，该定点的坐标为（﹣1，0）．